MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlem 18081
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18065 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Assertion
Ref Expression
efgredlem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 fviss 6213 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
31, 2eqsstri 3614 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
4 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
5 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 = ( ~FG𝐼)
6 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
7 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
8 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
9 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
101, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 18064 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1110simp1bi 1074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
124, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1312eldifad 3567 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑊)
14 wrdf 13249 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
16 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
17 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
18 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
19 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
201, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 4, 17, 18, 19efgredlema 18074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2120simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 11278 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2421nnred 10979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
2524lem1d 10901 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝐴) − 1))
26 eldifsni 4289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐴 ≠ ∅)
274, 11, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
28 wrdfin 13262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ∈ Fin)
29 hashnncl 13097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3013, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3127, 30mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
32 nnm1nn0 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
33 fznn0 12373 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)) ↔ ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝐴) − 1))))
3431, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)) ↔ ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝐴) − 1))))
3523, 25, 34mpbir2and 956 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)))
36 lencl 13263 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
39 fzoval 12412 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
4135, 40eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐴)))
4215, 41ffvelrnd 6316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
433, 42sseldi 3581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
44 lencl 13263 . . . . . . . 8 ((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℕ0)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11296 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ)
47 2rp 11781 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
48 ltaddrp 11811 . . . . . 6 (((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) < ((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
4946, 47, 48sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) < ((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
5037nn0red 11296 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
5150lem1d 10901 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴))
52 fznn 12350 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴))))
5338, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴))))
5421, 51, 53mpbir2and 956 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴)))
551, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 18072 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
564, 54, 55syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
571, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 18065 . . . . . . . 8 ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)))
59 1eluzge0 11676 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ (ℤ‘0)
60 fzss1 12322 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...(#‘𝐴)) ⊆ (0...(#‘𝐴)))
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (1...(#‘𝐴)) ⊆ (0...(#‘𝐴))
6261, 54sseldi 3581 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴)))
63 swrd0val 13359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴))) → (𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩) = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))
6413, 62, 63syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩) = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))
6564fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩)) = (#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))))
66 swrd0len 13360 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴))) → (#‘(𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩)) = ((#‘𝐴) − 1))
6713, 62, 66syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩)) = ((#‘𝐴) − 1))
6865, 67eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((#‘𝐴) − 1))
6968oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1) = (((#‘𝐴) − 1) − 1))
7069fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
71 fzo0end 12501 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
72 fvres 6164 . . . . . . . 8 ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
7321, 71, 723syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
7458, 70, 733eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
7574fveq2d 6152 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) = (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
761, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 18066 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
774, 21, 76syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
781, 5, 6, 7efgtlen 18060 . . . . . 6 (((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
7942, 77, 78syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
8049, 75, 793brtr4d 4645 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)))
811, 5, 6, 7efgtf 18056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
8242, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
8382simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
84 ffn 6002 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) Fn ((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)))
85 ovelrn 6763 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) Fn ((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)))
8683, 84, 853syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)))
8777, 86mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))
8820simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
891, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 18066 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
9017, 88, 89syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
911, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 18064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
9291simp1bi 1074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9317, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9493eldifad 3567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑊)
95 wrdf 13249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊)
97 fzo0end 12501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
98 elfzofz 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐵) − 1)))
9988, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐵) − 1)))
100 lencl 13263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
10194, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
102101nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
103 fzoval 12412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1)))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1)))
10599, 104eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐵)))
10696, 105ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
1071, 5, 6, 7efgtf 18056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
109108simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
110 ffn 6002 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) Fn ((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)))
111 ovelrn 6763 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) Fn ((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
112109, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
11390, 112mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))
114 reeanv 3097 . . . . . . . . 9 (∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))(∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
115 reeanv 3097 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
11616ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
1174ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
11817ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
11918ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
12019ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
121 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐴) − 1) − 1) = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
122 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐵) − 1) − 1) = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
123 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
124123simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))))
125123simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))
126 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)))
127126simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
128126simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
129 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
130129simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))
131129simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))
132 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
1331, 5, 6, 7, 8, 9, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 125, 127, 128, 130, 131, 132efgredlemb 18080 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
134 iman 440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
135133, 134mpbir 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
136135expr 642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
137136rexlimdvva 3031 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) → (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
138115, 137syl5bir 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) → ((∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
139138rexlimdvva 3031 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))(∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
140114, 139syl5bir 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
14187, 113, 140mp2and 714 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
142 fvres 6164 . . . . . . . 8 ((((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
14388, 97, 1423syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
144141, 73, 1433eqtr4d 2665 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
145 fzss1 12322 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...(#‘𝐵)) ⊆ (0...(#‘𝐵)))
14659, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1...(#‘𝐵)) ⊆ (0...(#‘𝐵))
147101nn0red 11296 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
148147lem1d 10901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵))
149 fznn 12350 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐵) ∈ ℤ → (((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵))))
150102, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵))))
15188, 148, 150mpbir2and 956 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵)))
152146, 151sseldi 3581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵)))
153 swrd0val 13359 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵))) → (𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩) = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))
15494, 152, 153syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩) = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))
155154fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩)) = (#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))))
156 swrd0len 13360 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵))) → (#‘(𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩)) = ((#‘𝐵) − 1))
15794, 152, 156syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩)) = ((#‘𝐵) − 1))
158155, 157eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((#‘𝐵) − 1))
159158oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1) = (((#‘𝐵) − 1) − 1))
160159fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
161144, 70, 1603eqtr4d 2665 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)))
1621, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 18072 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
16317, 151, 162syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
1641, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 18065 . . . . . 6 ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)))
165163, 164syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)))
166161, 58, 1653eqtr4d 2665 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))))
167 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (𝑆𝑎) = (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))))
168167fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (#‘(𝑆𝑎)) = (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))))
169168breq1d 4623 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) ↔ (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴))))
170167eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
171 fveq1 6147 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0))
172171eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
173170, 172imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
174169, 173imbi12d 334 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
175 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))))
176175eqeq2d 2631 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))))
177 fveq1 6147 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (𝑏‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))
178177eqeq2d 2631 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0)))
179176, 178imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))))
180179imbi2d 330 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0)))))
181174, 180rspc2va 3307 . . . . 5 ((((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))))
18256, 163, 16, 181syl21anc 1322 . . . 4 (𝜑 → ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))))
18380, 166, 182mp2d 49 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))
184 lbfzo0 12448 . . . . 5 (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) ↔ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
18521, 184sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
186 fvres 6164 . . . 4 (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
187185, 186syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
188 lbfzo0 12448 . . . . 5 (0 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) ↔ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
18988, 188sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
190 fvres 6164 . . . 4 (0 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
191189, 190syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
192183, 187, 1913eqtr3d 2663 . 2 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
193192, 19pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  cdif 3552  wss 3555  c0 3891  {csn 4148  cop 4154  cotp 4156   ciun 4485   class class class wbr 4613  cmpt 4673   I cid 4984   × cxp 5072  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499  Fincfn 7899  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   substr csubstr 13234   splice csplice 13235  ⟨“cs2 13523   ~FG cefg 18040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-s2 13530
This theorem is referenced by:  efgred  18082
  Copyright terms: Public domain W3C validator