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Theorem efgredleme 18202
Description: Lemma for efgred 18207. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
efgredlemd.9 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
efgredlemd.c (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
efgredlemd.sc (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
Assertion
Ref Expression
efgredleme (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)) ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredleme
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlemd.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
2 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
3 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
4 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
5 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
6 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
7 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
82, 3, 4, 5, 6, 7efgsf 18188 . . . . . . . 8 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
98fdmi 6090 . . . . . . . . 9 dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
109feq2i 6075 . . . . . . . 8 (𝑆:dom 𝑆𝑊𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
118, 10mpbir 221 . . . . . . 7 𝑆:dom 𝑆𝑊
1211ffvelrni 6398 . . . . . 6 (𝐶 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐶) ∈ 𝑊)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) ∈ 𝑊)
14 efgredlemb.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
15 elfzuz 12376 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) → 𝑄 ∈ (ℤ‘0))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ (ℤ‘0))
17 efgredlemd.sc . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
1817fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝑆𝐶)) = (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
19 fviss 6295 . . . . . . . . . . . . 13 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
202, 19eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
21 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
22 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
23 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
24 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
25 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
26 efgredlemb.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
27 efgredlemb.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
282, 3, 4, 5, 6, 7, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27efgredlemf 18200 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊))
2928simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
3020, 29sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
31 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
3328simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
3420, 33sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
35 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
37 ccatlen 13393 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) + (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
3832, 36, 37syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) + (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
39 swrd0len 13467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿)))) → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) = 𝑄)
4030, 14, 39syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) = 𝑄)
41 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
42 uzaddcl 11782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0))
4316, 41, 42sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0))
44 efgredlemb.p . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
45 elfzuz3 12377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃))
47 efgredlemd.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
48 uztrn 11742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
4946, 47, 48syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
50 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 + 2) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ↔ ((𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))))
5143, 49, 50sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
52 lencl 13356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
5334, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
54 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
5553, 54syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘0))
56 eluzfz2 12387 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘0) → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
58 swrdlen 13468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ∧ (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾)))) → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((#‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2)))
5934, 51, 57, 58syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((#‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2)))
6040, 59oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) + (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (𝑄 + ((#‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2))))
61 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) → 𝑄 ∈ ℤ)
6214, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
6362zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
6453nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
65 2z 11447 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
66 zaddcl 11455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑄 + 2) ∈ ℤ)
6762, 65, 66sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ ℤ)
6867zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ ℂ)
6963, 64, 68addsubassd 10450 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + (#‘(𝐴𝐾))) − (𝑄 + 2)) = (𝑄 + ((#‘(𝐴𝐾)) − (𝑄 + 2))))
70 2cn 11129 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7263, 64, 71pnpcand 10467 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + (#‘(𝐴𝐾))) − (𝑄 + 2)) = ((#‘(𝐴𝐾)) − 2))
7360, 69, 723eqtr2d 2691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) + (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((#‘(𝐴𝐾)) − 2))
7418, 38, 733eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(𝑆𝐶)) = ((#‘(𝐴𝐾)) − 2))
75 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) → 𝑃 ∈ ℤ)
7644, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
77 zsubcl 11457 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 − 2) ∈ ℤ)
7876, 65, 77sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ ℤ)
7965a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
8076zcnd 11521 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
81 npcan 10328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑃 − 2) + 2) = 𝑃)
8280, 70, 81sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 − 2) + 2) = 𝑃)
8382fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ‘((𝑃 − 2) + 2)) = (ℤ𝑃))
8446, 83eleqtrrd 2733 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘((𝑃 − 2) + 2)))
85 eluzsub 11755 . . . . . . . . 9 (((𝑃 − 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘((𝑃 − 2) + 2))) → ((#‘(𝐴𝐾)) − 2) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
8678, 79, 84, 85syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘(𝐴𝐾)) − 2) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
8774, 86eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
88 eluzsub 11755 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄))
8962, 79, 47, 88syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄))
90 uztrn 11742 . . . . . . 7 (((#‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄)) → (#‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ𝑄))
9187, 89, 90syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ𝑄))
92 elfzuzb 12374 . . . . . 6 (𝑄 ∈ (0...(#‘(𝑆𝐶))) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ𝑄)))
9316, 91, 92sylanbrc 699 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝑆𝐶))))
94 efgredlemb.v . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
952, 3, 4, 5efgtval 18182 . . . . 5 (((𝑆𝐶) ∈ 𝑊𝑄 ∈ (0...(#‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) = ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
9613, 93, 94, 95syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) = ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
97 swrdcl 13464 . . . . . 6 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
9834, 97syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
99 wrd0 13362 . . . . . 6 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)
10099a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
1014efgmf 18172 . . . . . . . 8 𝑀:(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)
102101ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜) → (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
10394, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
10494, 103s2cld 13662 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
105 eluzfz1 12386 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑄))
10616, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑄))
10762zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
108 nn0addge1 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) → 𝑄 ≤ (𝑄 + 2))
109107, 41, 108sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑄 ≤ (𝑄 + 2))
110 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄) ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≤ (𝑄 + 2)))
11162, 67, 109, 110syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄))
112 uztrn 11742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄)) → 𝑃 ∈ (ℤ𝑄))
11347, 111, 112syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑄))
114 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)))
11516, 113, 114sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ (0...𝑃))
116 ccatswrd 13502 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (0 ∈ (0...𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩))
11734, 106, 115, 44, 116syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩))
118117oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
119 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
12034, 119syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
121 efgredlemb.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
122101ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜) → (𝑀𝑈) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀𝑈) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
124121, 123s2cld 13662 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
125 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
12634, 125syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
127 ccatass 13406 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
128120, 124, 126, 127syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
129 efgredlemb.6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
1302, 3, 4, 5efgtval 18182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈) = ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
13133, 44, 121, 130syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈) = ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
132 splval 13548 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
13333, 44, 44, 124, 132syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
134129, 131, 1333eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐴) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
135 efgredlemb.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
1362, 3, 4, 5efgtval 18182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉) = ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
13729, 14, 94, 136syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉) = ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
138 splval 13548 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ∧ 𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
13929, 14, 14, 104, 138syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
140135, 137, 1393eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐵) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
14124, 134, 1403eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
142118, 128, 1413eqtr2d 2691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
143 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
14434, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
145 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
146124, 126, 145syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
147 ccatass 13406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))))
14898, 144, 146, 147syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))))
149 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
15030, 149syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
151 ccatass 13406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
15232, 104, 150, 151syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
153142, 148, 1523eqtr3d 2693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
154 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
155144, 146, 154syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
156 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . 11 ((⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
157104, 150, 156syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
158 uztrn 11742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)) → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑄))
15946, 113, 158syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑄))
160 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ𝑄)))
16116, 159, 160sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
162 swrd0len 13467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾)))) → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩)) = 𝑄)
16334, 161, 162syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩)) = 𝑄)
164163, 40eqtr4d 2688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩)) = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)))
165 ccatopth 13516 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩)) = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩))) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))))
16698, 155, 32, 157, 164, 165syl221anc 1377 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))))
167153, 166mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
168167simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩))
169168oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
170 ccatrid 13405 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ∅) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩))
17198, 170syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ∅) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩))
172171oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ∅) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
173169, 172, 173eqtr4rd 2696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ∅) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
174163eqcomd 2657 . . . . 5 (𝜑𝑄 = (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩)))
175 hash0 13196 . . . . . . 7 (#‘∅) = 0
176175oveq2i 6701 . . . . . 6 (𝑄 + (#‘∅)) = (𝑄 + 0)
17763addid1d 10274 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 + 0) = 𝑄)
178176, 177syl5req 2698 . . . . 5 (𝜑𝑄 = (𝑄 + (#‘∅)))
17998, 100, 36, 104, 173, 174, 178splval2 13554 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
180 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (ℤ𝑄)))
18116, 111, 180sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)))
182 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ↔ ((𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))))
18343, 47, 182sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃))
184 ccatswrd 13502 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))) → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩))
18534, 181, 183, 44, 184syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩))
186185oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
187 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
18834, 187syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
189 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
19034, 189syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
191 ccatass 13406 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))))
192188, 190, 146, 191syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))))
193167simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
194186, 192, 1933eqtr3d 2693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
195 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
196190, 146, 195syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
197 swrdlen 13468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾)))) → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝑄 + 2) − 𝑄))
19834, 181, 51, 197syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝑄 + 2) − 𝑄))
199 pncan2 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 2) − 𝑄) = 2)
20063, 70, 199sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄 + 2) − 𝑄) = 2)
201198, 200eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = 2)
202 s2len 13680 . . . . . . . . . . . 12 (#‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) = 2
203201, 202syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = (#‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
204 ccatopth 13516 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = (#‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
205188, 196, 104, 150, 203, 204syl221anc 1377 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) ++ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))) = (⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
206194, 205mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∧ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
207206simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩) = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)
208207oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
209 ccatswrd 13502 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (0 ∈ (0...𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (𝑄 + 2)⟩))
21034, 106, 181, 51, 209syl13anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑄, (𝑄 + 2)⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (𝑄 + 2)⟩))
211208, 210eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (𝑄 + 2)⟩))
212211oveq1d 6705 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
213 eluzfz1 12386 . . . . . . 7 ((𝑄 + 2) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑄 + 2)))
21443, 213syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑄 + 2)))
215 ccatswrd 13502 . . . . . 6 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (0 ∈ (0...(𝑄 + 2)) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ∧ (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (#‘(𝐴𝐾))⟩))
21634, 214, 51, 57, 215syl13anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, (𝑄 + 2)⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (#‘(𝐴𝐾))⟩))
217 swrdid 13474 . . . . . 6 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = (𝐴𝐾))
21834, 217syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = (𝐴𝐾))
219212, 216, 2183eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝐴𝐾))
22096, 179, 2193eqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) = (𝐴𝐾))
2212, 3, 4, 5efgtf 18181 . . . . . . 7 ((𝑆𝐶) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝑆𝐶)) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝑆𝐶))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆𝐶)):((0...(#‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
22213, 221syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇‘(𝑆𝐶)) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝑆𝐶))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝑆𝐶) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆𝐶)):((0...(#‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
223222simprd 478 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇‘(𝑆𝐶)):((0...(#‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
224 ffn 6083 . . . . 5 ((𝑇‘(𝑆𝐶)):((0...(#‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝑆𝐶)) Fn ((0...(#‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2𝑜)))
225223, 224syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇‘(𝑆𝐶)) Fn ((0...(#‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2𝑜)))
226 fnovrn 6851 . . . 4 (((𝑇‘(𝑆𝐶)) Fn ((0...(#‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑄 ∈ (0...(#‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
227225, 93, 94, 226syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑉) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
228220, 227eqeltrrd 2731 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
229 uztrn 11742 . . . . . . 7 (((𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0))
23089, 16, 229syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0))
231 elfzuzb 12374 . . . . . 6 ((𝑃 − 2) ∈ (0...(#‘(𝑆𝐶))) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘(𝑆𝐶)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))))
232230, 87, 231sylanbrc 699 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (0...(#‘(𝑆𝐶))))
2332, 3, 4, 5efgtval 18182 . . . . 5 (((𝑆𝐶) ∈ 𝑊 ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(#‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) = ((𝑆𝐶) splice ⟨(𝑃 − 2), (𝑃 − 2), ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
23413, 232, 121, 233syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) = ((𝑆𝐶) splice ⟨(𝑃 − 2), (𝑃 − 2), ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
235 swrdcl 13464 . . . . . 6 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
23630, 235syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
237 swrdcl 13464 . . . . . 6 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
23830, 237syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
239 ccatswrd 13502 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ∧ (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))) → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩))
24034, 183, 44, 57, 239syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩))
241206simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
242 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ↔ (𝑄 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (ℤ𝑄)))
24316, 89, 242sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)))
2442, 3, 4, 5, 6, 7, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 44, 14, 121, 94, 129, 135efgredlemg 18201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) = (#‘(𝐵𝐿)))
245244, 46eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ𝑃))
246 0le2 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 2
247246a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 2)
24876zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
249 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
250 subge02 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (0 ≤ 2 ↔ (𝑃 − 2) ≤ 𝑃))
251248, 249, 250sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (0 ≤ 2 ↔ (𝑃 − 2) ≤ 𝑃))
252247, 251mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃 − 2) ≤ 𝑃)
253 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ≤ 𝑃))
25478, 76, 252, 253syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
255 uztrn 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))) → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
256245, 254, 255syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2)))
257 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − 2) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))))
258230, 256, 257sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
259 lencl 13356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
26030, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
261260, 54syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘0))
262 eluzfz2 12387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘0) → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
263261, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
264 ccatswrd 13502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ∧ (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
26530, 243, 258, 263, 264syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
266241, 265eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
267 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
26830, 267syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
269 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
27030, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
271 swrdlen 13468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑄 + 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾)))) → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
27234, 183, 44, 271syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
273 swrdlen 13468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿)))) → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝑃 − 2) − 𝑄))
27430, 243, 258, 273syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝑃 − 2) − 𝑄))
27580, 63, 71sub32d 10462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃𝑄) − 2) = ((𝑃 − 2) − 𝑄))
27680, 63, 71subsub4d 10461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃𝑄) − 2) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
277274, 275, 2763eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = (𝑃 − (𝑄 + 2)))
278272, 277eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)))
279 ccatopth 13516 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩)) = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩))) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
280190, 146, 268, 270, 278, 279syl221anc 1377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
281266, 280mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∧ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
282281simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩))
283281simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩))
284 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ↔ ((𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 2))))
285230, 254, 284sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃))
286 elfzuz 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘0))
28744, 286syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘0))
288 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ𝑃)))
289287, 245, 288sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
290 ccatswrd 13502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ∧ (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩))
29130, 285, 289, 263, 290syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), (#‘(𝐵𝐿))⟩))
292283, 291eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
293 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
29430, 293syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
295 s2len 13680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (#‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = 2
296 swrdlen 13468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿)))) → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑃 − 2)))
29730, 285, 289, 296syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = (𝑃 − (𝑃 − 2)))
298 nncan 10348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑃 − (𝑃 − 2)) = 2)
29980, 70, 298sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 − (𝑃 − 2)) = 2)
300297, 299eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)))
301295, 300syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)))
302 ccatopth 13516 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (#‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩))) → ((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
303124, 126, 294, 238, 301, 302syl221anc 1377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
304292, 303mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
305304simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
306282, 305oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
307240, 306eqtr3d 2687 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
308307oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
309 ccatass 13406 . . . . . . . . 9 ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
31032, 268, 238, 309syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
311308, 310eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
312 ccatswrd 13502 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (0 ∈ (0...𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩))
31330, 106, 243, 258, 312syl13anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩))
314313oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (𝑃 − 2)⟩)) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
31517, 311, 3143eqtrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
316 ccatrid 13405 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ∅) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩))
317236, 316syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ∅) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩))
318317oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ∅) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
319315, 318eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐶) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ∅) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
320 swrd0len 13467 . . . . . . 7 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿)))) → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩)) = (𝑃 − 2))
32130, 258, 320syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩)) = (𝑃 − 2))
322321eqcomd 2657 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 2) = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩)))
323175oveq2i 6701 . . . . . 6 ((𝑃 − 2) + (#‘∅)) = ((𝑃 − 2) + 0)
32478zcnd 11521 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 2) ∈ ℂ)
325324addid1d 10274 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 − 2) + 0) = (𝑃 − 2))
326323, 325syl5req 2698 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 2) = ((𝑃 − 2) + (#‘∅)))
327236, 100, 238, 124, 319, 322, 326splval2 13554 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐶) splice ⟨(𝑃 − 2), (𝑃 − 2), ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
328304simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩))
329328oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)))
330 eluzfz1 12386 . . . . . . . . 9 ((𝑃 − 2) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑃 − 2)))
331230, 330syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑃 − 2)))
332 ccatswrd 13502 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (0 ∈ (0...(𝑃 − 2)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑃⟩))
33330, 331, 285, 289, 332syl13anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨(𝑃 − 2), 𝑃⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑃⟩))
334329, 333eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑃⟩))
335334oveq1d 6705 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
336 eluzfz1 12386 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑃))
337287, 336syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑃))
338 ccatswrd 13502 . . . . . 6 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (0 ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ∧ (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
33930, 337, 289, 263, 338syl13anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
340 swrdid 13474 . . . . . 6 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (#‘(𝐵𝐿))⟩) = (𝐵𝐿))
34130, 340syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (#‘(𝐵𝐿))⟩) = (𝐵𝐿))
342335, 339, 3413eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, (𝑃 − 2)⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = (𝐵𝐿))
343234, 327, 3423eqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) = (𝐵𝐿))
344 fnovrn 6851 . . . 4 (((𝑇‘(𝑆𝐶)) Fn ((0...(#‘(𝑆𝐶))) × (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (𝑃 − 2) ∈ (0...(#‘(𝑆𝐶))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
345225, 232, 121, 344syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝑃 − 2)(𝑇‘(𝑆𝐶))𝑈) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
346343, 345eqeltrrd 2731 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
347228, 346jca 553 1 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)) ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  c0 3948  {csn 4210  cop 4216  cotp 4218   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325   substr csubstr 13327   splice csplice 13328  ⟨“cs2 13632   ~FG cefg 18165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-splice 13336  df-s2 13639
This theorem is referenced by:  efgredlemd  18203
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