MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemf 18075
Description: Lemma for efgredleme 18077. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
Assertion
Ref Expression
efgredlemf (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlemf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
2 efgval.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
3 efgval.r . . . . . . . 8 = ( ~FG𝐼)
4 efgval2.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
5 efgval2.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
6 efgred.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
7 efgred.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
82, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 18064 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
98simp1bi 1074 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1110eldifad 3567 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑊)
12 wrdf 13249 . . . 4 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
14 fzossfz 12429 . . . . 5 (0..^((#‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((#‘𝐴) − 1))
15 lencl 13263 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
1611, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
1716nn0zd 11424 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
18 fzoval 12412 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
2014, 19syl5sseqr 3633 . . . 4 (𝜑 → (0..^((#‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐴)))
21 efgredlemb.k . . . . 5 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
22 efgredlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
23 efgredlem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
24 efgredlem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
25 efgredlem.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
262, 3, 4, 5, 6, 7, 22, 1, 23, 24, 25efgredlema 18074 . . . . . . 7 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2726simpld 475 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
28 fzo0end 12501 . . . . . 6 (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
3021, 29syl5eqel 2702 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
3120, 30sseldd 3584 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (0..^(#‘𝐴)))
3213, 31ffvelrnd 6316 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
332, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 18064 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
3433simp1bi 1074 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
3523, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
3635eldifad 3567 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑊)
37 wrdf 13249 . . . 4 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊)
3836, 37syl 17 . . 3 (𝜑𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊)
39 fzossfz 12429 . . . . 5 (0..^((#‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((#‘𝐵) − 1))
40 lencl 13263 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
4241nn0zd 11424 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
43 fzoval 12412 . . . . . 6 ((#‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1)))
4442, 43syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1)))
4539, 44syl5sseqr 3633 . . . 4 (𝜑 → (0..^((#‘𝐵) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐵)))
46 efgredlemb.l . . . . 5 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
4726simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
48 fzo0end 12501 . . . . . 6 (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
4947, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
5046, 49syl5eqel 2702 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
5145, 50sseldd 3584 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (0..^(#‘𝐵)))
5238, 51ffvelrnd 6316 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
5332, 52jca 554 1 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  cdif 3552  c0 3891  {csn 4148  cop 4154  cotp 4156   ciun 4485   class class class wbr 4613  cmpt 4673   I cid 4984   × cxp 5072  dom cdm 5074  ran crn 5075  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   splice csplice 13235  ⟨“cs2 13523   ~FG cefg 18040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238
This theorem is referenced by:  efgredlemg  18076  efgredleme  18077
  Copyright terms: Public domain W3C validator