MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemg 18076
Description: Lemma for efgred 18082. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
Assertion
Ref Expression
efgredlemg (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) = (#‘(𝐵𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemg
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . 6 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 fviss 6213 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
31, 2eqsstri 3614 . . . . 5 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
4 efgval.r . . . . . . 7 = ( ~FG𝐼)
5 efgval2.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
7 efgred.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
8 efgred.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
9 efgredlem.1 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
10 efgredlem.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
11 efgredlem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
12 efgredlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
13 efgredlem.5 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
14 efgredlemb.k . . . . . . 7 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
15 efgredlemb.l . . . . . . 7 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
161, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15efgredlemf 18075 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊))
1716simpld 475 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
183, 17sseldi 3581 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
19 lencl 13263 . . . 4 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
2120nn0cnd 11297 . 2 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
2216simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
233, 22sseldi 3581 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
24 lencl 13263 . . . 4 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
2625nn0cnd 11297 . 2 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℂ)
27 2cnd 11037 . 2 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
281, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13efgredlema 18074 . . . . . . 7 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2928simpld 475 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
301, 4, 5, 6, 7, 8efgsdmi 18066 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
3110, 29, 30syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
3214fveq2i 6151 . . . . . . 7 (𝐴𝐾) = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))
3332fveq2i 6151 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴𝐾)) = (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
3433rneqi 5312 . . . . 5 ran (𝑇‘(𝐴𝐾)) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
3531, 34syl6eleqr 2709 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾)))
361, 4, 5, 6efgtlen 18060 . . . 4 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾))) → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐴𝐾)) + 2))
3717, 35, 36syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐴𝐾)) + 2))
3828simprd 479 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
391, 4, 5, 6, 7, 8efgsdmi 18066 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
4011, 38, 39syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
4112, 40eqeltrd 2698 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
4215fveq2i 6151 . . . . . . 7 (𝐵𝐿) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))
4342fveq2i 6151 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐵𝐿)) = (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
4443rneqi 5312 . . . . 5 ran (𝑇‘(𝐵𝐿)) = ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
4541, 44syl6eleqr 2709 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿)))
461, 4, 5, 6efgtlen 18060 . . . 4 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿))) → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐵𝐿)) + 2))
4722, 45, 46syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐵𝐿)) + 2))
4837, 47eqtr3d 2657 . 2 (𝜑 → ((#‘(𝐴𝐾)) + 2) = ((#‘(𝐵𝐿)) + 2))
4921, 26, 27, 48addcan2ad 10186 1 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) = (#‘(𝐵𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  cdif 3552  c0 3891  {csn 4148  cop 4154  cotp 4156   ciun 4485   class class class wbr 4613  cmpt 4673   I cid 4984   × cxp 5072  dom cdm 5074  ran crn 5075  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   splice csplice 13235  ⟨“cs2 13523   ~FG cefg 18040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-s2 13530
This theorem is referenced by:  efgredleme  18077
  Copyright terms: Public domain W3C validator