Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgt0 14765
 Description: The exponential function of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt0 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt0
StepHypRef Expression
1 reefcl 14749 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
2 rehalfcl 11209 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
32reefcld 14750 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
43sqge0d 12983 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
52recnd 10019 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
6 2z 11360 . . . . 5 2 ∈ ℤ
7 efexp 14763 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
85, 6, 7sylancl 693 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
9 recn 9977 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10 2cn 11042 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
11 2ne0 11064 . . . . . . 7 2 ≠ 0
12 divcan2 10644 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
1310, 11, 12mp3an23 1413 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
149, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
1514fveq2d 6157 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
168, 15eqtr3d 2657 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(𝐴 / 2))↑2) = (exp‘𝐴))
174, 16breqtrd 4644 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (exp‘𝐴))
18 efne0 14759 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
199, 18syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
201, 17, 19ne0gt0d 10125 1 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4618  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℂcc 9885  ℝcr 9886  0cc0 9887   · cmul 9892   < clt 10025   ≤ cle 10026   / cdiv 10635  2c2 11021  ℤcz 11328  ↑cexp 12807  expce 14724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-ico 12130  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-fac 13008  df-bc 13037  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-ef 14730 This theorem is referenced by:  rpefcl  14766  eflt  14779  tanhlt1  14822  absef  14859  efieq1re  14861  rpcxpcl  24335  asinsinlem  24531  birthdaylem3  24593  pntpbnd1  25188  pntpbnd2  25189  xrge0iifcnv  29779
 Copyright terms: Public domain W3C validator