MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efi4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efi4p 14787
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function of an imaginary number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
efi4p (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efi4p
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9940 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 9965 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 705 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 efi4p.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
54ef4p 14763 . . 3 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
63, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
7 ax-1cn 9939 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
8 addcl 9963 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
97, 3, 8sylancr 694 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
103sqcld 12943 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
1110halfcld 11222 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) ∈ ℂ)
12 3nn0 11255 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
13 expcl 12815 . . . . . . 7 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ)
143, 12, 13sylancl 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ)
15 6cn 11047 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
16 6re 11046 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
17 6pos 11064 . . . . . . . 8 0 < 6
1816, 17gt0ne0ii 10509 . . . . . . 7 6 ≠ 0
19 divcl 10636 . . . . . . 7 ((((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
2015, 18, 19mp3an23 1413 . . . . . 6 (((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
2114, 20syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
229, 11, 21addassd 10007 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((1 + (i · 𝐴)) + ((((i · 𝐴)↑2) / 2) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))))
237a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2423, 3, 11, 21add4d 10209 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) + ((((i · 𝐴)↑2) / 2) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))) = ((1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))))
25 2nn0 11254 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
26 mulexp 12836 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
271, 25, 26mp3an13 1412 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
28 i2 12902 . . . . . . . . . . . 12 (i↑2) = -1
2928oveq1i 6615 . . . . . . . . . . 11 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2)))
31 sqcl 12862 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3231mulm1d 10427 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
3327, 30, 323eqtrd 2664 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
3433oveq1d 6620 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
35 2cn 11036 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
36 2ne0 11058 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
37 divneg 10664 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
3835, 36, 37mp3an23 1413 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
3931, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
4034, 39eqtr4d 2663 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) = -((𝐴↑2) / 2))
4140oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) = (1 + -((𝐴↑2) / 2)))
4231halfcld 11222 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
43 negsub 10274 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ) → (1 + -((𝐴↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
447, 42, 43sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + -((𝐴↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
4541, 44eqtrd 2660 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
46 mulexp 12836 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑3) = ((i↑3) · (𝐴↑3)))
471, 12, 46mp3an13 1412 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) = ((i↑3) · (𝐴↑3)))
48 i3 12903 . . . . . . . . . . 11 (i↑3) = -i
4948oveq1i 6615 . . . . . . . . . 10 ((i↑3) · (𝐴↑3)) = (-i · (𝐴↑3))
5047, 49syl6eq 2676 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) = (-i · (𝐴↑3)))
5150oveq1d 6620 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) = ((-i · (𝐴↑3)) / 6))
52 expcl 12815 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
5312, 52mpan2 706 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
54 negicn 10227 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
5515, 18pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
56 divass 10648 . . . . . . . . . 10 ((-i ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
5754, 55, 56mp3an13 1412 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
5853, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
59 divcl 10636 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
6015, 18, 59mp3an23 1413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
6153, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
62 mulneg12 10413 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐴↑3) / 6)) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
631, 61, 62sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴↑3) / 6)) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
6451, 58, 633eqtrd 2664 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
6564oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
6661negcld 10324 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
67 adddi 9970 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
681, 67mp3an1 1408 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
6966, 68mpdan 701 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
70 negsub 10274 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
7161, 70mpdan 701 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
7271oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))
7365, 69, 723eqtr2d 2666 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))
7445, 73oveq12d 6623 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))))
7522, 24, 743eqtrd 2664 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))))
7675oveq1d 6620 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
776, 76eqtrd 2660 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cmpt 4678  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882  ici 9883   + caddc 9884   · cmul 9886  cmin 10211  -cneg 10212   / cdiv 10629  2c2 11015  3c3 11016  4c4 11017  6c6 11019  0cn0 11237  cuz 11631  cexp 12797  !cfa 12997  Σcsu 14345  expce 14712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12120  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718
This theorem is referenced by:  resin4p  14788  recos4p  14789
  Copyright terms: Public domain W3C validator