MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efi4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efi4p 14911
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function of an imaginary number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
efi4p (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efi4p
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10033 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 10058 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 706 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 efi4p.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
54ef4p 14887 . . 3 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
63, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
7 ax-1cn 10032 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
8 addcl 10056 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
97, 3, 8sylancr 696 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
103sqcld 13046 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
1110halfcld 11315 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) ∈ ℂ)
12 3nn0 11348 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
13 expcl 12918 . . . . . . 7 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ)
143, 12, 13sylancl 695 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ)
15 6cn 11140 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
16 6re 11139 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
17 6pos 11157 . . . . . . . 8 0 < 6
1816, 17gt0ne0ii 10602 . . . . . . 7 6 ≠ 0
19 divcl 10729 . . . . . . 7 ((((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
2015, 18, 19mp3an23 1456 . . . . . 6 (((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
2114, 20syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
229, 11, 21addassd 10100 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((1 + (i · 𝐴)) + ((((i · 𝐴)↑2) / 2) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))))
237a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2423, 3, 11, 21add4d 10302 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) + ((((i · 𝐴)↑2) / 2) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))) = ((1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))))
25 2nn0 11347 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
26 mulexp 12939 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
271, 25, 26mp3an13 1455 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
28 i2 13005 . . . . . . . . . . . 12 (i↑2) = -1
2928oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2)))
31 sqcl 12965 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3231mulm1d 10520 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
3327, 30, 323eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
3433oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
35 2cn 11129 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
36 2ne0 11151 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
37 divneg 10757 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
3835, 36, 37mp3an23 1456 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
3931, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
4034, 39eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) = -((𝐴↑2) / 2))
4140oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) = (1 + -((𝐴↑2) / 2)))
4231halfcld 11315 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
43 negsub 10367 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ) → (1 + -((𝐴↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
447, 42, 43sylancr 696 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + -((𝐴↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
4541, 44eqtrd 2685 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
46 mulexp 12939 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑3) = ((i↑3) · (𝐴↑3)))
471, 12, 46mp3an13 1455 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) = ((i↑3) · (𝐴↑3)))
48 i3 13006 . . . . . . . . . . 11 (i↑3) = -i
4948oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 ((i↑3) · (𝐴↑3)) = (-i · (𝐴↑3))
5047, 49syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) = (-i · (𝐴↑3)))
5150oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) = ((-i · (𝐴↑3)) / 6))
52 expcl 12918 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
5312, 52mpan2 707 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
54 negicn 10320 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
5515, 18pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
56 divass 10741 . . . . . . . . . 10 ((-i ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
5754, 55, 56mp3an13 1455 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
5853, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
59 divcl 10729 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
6015, 18, 59mp3an23 1456 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
6153, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
62 mulneg12 10506 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐴↑3) / 6)) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
631, 61, 62sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴↑3) / 6)) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
6451, 58, 633eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
6564oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
6661negcld 10417 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
67 adddi 10063 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
681, 67mp3an1 1451 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
6966, 68mpdan 703 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
70 negsub 10367 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
7161, 70mpdan 703 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
7271oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))
7365, 69, 723eqtr2d 2691 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))
7445, 73oveq12d 6708 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))))
7522, 24, 743eqtrd 2689 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))))
7675oveq1d 6705 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
776, 76eqtrd 2685 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  6c6 11112  0cn0 11330  cuz 11725  cexp 12900  !cfa 13100  Σcsu 14460  expce 14836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842
This theorem is referenced by:  resin4p  14912  recos4p  14913
  Copyright terms: Public domain W3C validator