MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efiatan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efiatan2 24389
Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
efiatan2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiatan2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9852 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 atancl 24353 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
3 mulcl 9877 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 693 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
5 efcl 14601 . . . 4 ((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
7 ax-1cn 9851 . . . . 5 1 ∈ ℂ
8 atandm2 24349 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
98simp1bi 1068 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
109sqcld 12826 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11 addcl 9875 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
127, 10, 11sylancr 693 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
1312sqrtcld 13973 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
1412sqsqrtd 13975 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) = (1 + (𝐴↑2)))
15 atandm4 24351 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
1615simprbi 478 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0)
1714, 16eqnetrd 2848 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0)
18 sqne0 12750 . . . . 5 ((√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
1913, 18syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
2017, 19mpbid 220 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0)
216, 13, 20divcan4d 10659 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (exp‘(i · (arctan‘𝐴))))
22 halfcn 11097 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
2312, 16logcld 24066 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
24 mulcl 9877 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
2522, 23, 24sylancr 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
26 efadd 14612 . . . . . 6 (((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
274, 25, 26syl2anc 690 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
28 2cn 10941 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
30 mulcl 9877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
311, 9, 30sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
32 addcl 9875 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
337, 31, 32sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
348simp3bi 1070 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
3533, 34logcld 24066 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3629, 35, 4subdid 10338 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))))
37 atanval 24356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
3837oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
391a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
4029, 39, 2mulassd 9920 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
41 halfcl 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
421, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i / 2) ∈ ℂ
4328, 1, 42mulassi 9906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
4428, 1, 42mul12i 10083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
45 2ne0 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ≠ 0
461, 28, 45divcan2i 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · (i / 2)) = i
4746oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
48 ixi 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
4947, 48eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i · (2 · (i / 2))) = -1
5043, 44, 493eqtri 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · i) · (i / 2)) = -1
5150oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
52 subcl 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
537, 31, 52sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
548simp2bi 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
5553, 54logcld 24066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
5655, 35subcld 10244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
5756mulm1d 10334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
5851, 57syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
59 2mulicn 11105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · i) ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
6260, 61, 56mulassd 9920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
6355, 35negsubdi2d 10260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
6458, 62, 633eqtr3d 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
6538, 40, 643eqtr3d 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
6665oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
67 mulcl 9877 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
6828, 35, 67sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
6968, 35, 55subsubd 10272 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
70352timesd 11125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
7170oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
7235, 35pncand 10245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
7371, 72eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
7473oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
75 atanlogadd 24386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
76 logef 24077 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
78 efadd 14612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
7935, 55, 78syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
80 eflog 24072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
8133, 34, 80syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
82 eflog 24072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
8353, 54, 82syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
8481, 83oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
85 sq1 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1↑2) = 1
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → (1↑2) = 1)
87 sqmul 12746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
881, 9, 87sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
89 i2 12785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i↑2) = -1
9089oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
9110mulm1d 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
9290, 91syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
9388, 92eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
9486, 93oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
95 subsq 12792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
967, 31, 95sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
97 subneg 10182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
987, 10, 97sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
9994, 96, 983eqtr3d 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
10079, 84, 993eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (1 + (𝐴↑2)))
101100fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
10277, 101eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
10369, 74, 1023eqtrd 2647 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
10436, 66, 1033eqtrd 2647 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
105104oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2))
10635, 4subcld 10244 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
10745a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ≠ 0)
108106, 29, 107divcan3d 10658 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))))
10923, 29, 107divrec2d 10657 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
110105, 108, 1093eqtr3d 2651 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
11135, 4, 25subaddd 10262 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ↔ ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
112110, 111mpbid 220 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
113112fveq2d 6092 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
11427, 113eqtr3d 2645 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
11522a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
11612, 16, 115cxpefd 24203 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))))
117 cxpsqrt 24194 . . . . . . 7 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
11812, 117syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
119116, 118eqtr3d 2645 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
120119oveq2d 6543 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
121114, 120, 813eqtr3d 2651 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (1 + (i · 𝐴)))
122121oveq1d 6542 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
12321, 122eqtr3d 2645 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  dom cdm 5028  ran crn 5029  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794  ici 9795   + caddc 9796   · cmul 9798  cmin 10118  -cneg 10119   / cdiv 10536  2c2 10920  cexp 12680  csqrt 13770  expce 14580  logclog 24050  𝑐ccxp 24051  arctancatan 24336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-log 24052  df-cxp 24053  df-atan 24339
This theorem is referenced by:  cosatan  24393
  Copyright terms: Public domain W3C validator