MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem1 25053
Description: Lemma for efif1o 25057. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efif1olem1.1 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
Assertion
Ref Expression
efif1olem1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem efif1olem1
StepHypRef Expression
1 simprr 769 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑦𝐷)
2 efif1olem1.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
31, 2eleqtrdi 2920 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))))
4 rexr 10675 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 2re 11699 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
7 pire 24971 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
86, 7remulcli 10645 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℝ
9 readdcl 10608 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
105, 8, 9sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
11 elioc2 12787 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
124, 10, 11syl2an2r 681 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
133, 12mpbid 233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐴 + (2 · π))))
1413simp1d 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ ℝ)
15 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑥𝐷)
1615, 2eleqtrdi 2920 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))))
17 elioc2 12787 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
184, 10, 17syl2an2r 681 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
1916, 18mpbid 233 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + (2 · π))))
2019simp1d 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 readdcl 10608 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑥 + (2 · π)) ∈ ℝ)
2220, 8, 21sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 + (2 · π)) ∈ ℝ)
2313simp3d 1136 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑦 ≤ (𝐴 + (2 · π)))
248a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (2 · π) ∈ ℝ)
2519simp2d 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝐴 < 𝑥)
265, 20, 24, 25ltadd1dd 11239 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝐴 + (2 · π)) < (𝑥 + (2 · π)))
2714, 10, 22, 23, 26lelttrd 10786 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑦 < (𝑥 + (2 · π)))
2814, 24, 20ltsubaddd 11224 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → ((𝑦 − (2 · π)) < 𝑥𝑦 < (𝑥 + (2 · π))))
2927, 28mpbird 258 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑦 − (2 · π)) < 𝑥)
30 readdcl 10608 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑦 + (2 · π)) ∈ ℝ)
3114, 8, 30sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑦 + (2 · π)) ∈ ℝ)
3219simp3d 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑥 ≤ (𝐴 + (2 · π)))
3313simp2d 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝐴 < 𝑦)
345, 14, 24, 33ltadd1dd 11239 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝐴 + (2 · π)) < (𝑦 + (2 · π)))
3520, 10, 31, 32, 34lelttrd 10786 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑥 < (𝑦 + (2 · π)))
3620, 14, 24absdifltd 14781 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → ((abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π) ↔ ((𝑦 − (2 · π)) < 𝑥𝑥 < (𝑦 + (2 · π)))))
3729, 35, 36mpbir2and 709 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  2c2 11680  (,]cioc 12727  abscabs 14581  πcpi 15408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  efif1o  25057  eff1o  25060
  Copyright terms: Public domain W3C validator