MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem2 24193
Description: Lemma for efif1o 24196. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efif1olem1.1 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
Assertion
Ref Expression
efif1olem2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem efif1olem2
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 2re 11034 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 pire 24114 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
42, 3remulcli 9998 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
5 readdcl 9963 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
61, 4, 5sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
7 resubcl 10289 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴𝑧) ∈ ℝ)
8 2pos 11056 . . . . . . . 8 0 < 2
9 pipos 24116 . . . . . . . 8 0 < π
102, 3, 8, 9mulgt0ii 10114 . . . . . . 7 0 < (2 · π)
114, 10elrpii 11779 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ+
12 modcl 12612 . . . . . 6 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
137, 11, 12sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
146, 13resubcld 10402 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ)
154a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℝ)
16 modlt 12619 . . . . . . 7 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
177, 11, 16sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
1813, 15, 1, 17ltadd2dd 10140 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)))
191, 13, 6ltaddsubd 10571 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))))
2018, 19mpbid 222 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))))
21 modge0 12618 . . . . . 6 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))
227, 11, 21sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))
236, 13subge02d 10563 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ↔ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π))))
2422, 23mpbid 222 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))
25 rexr 10029 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2625adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27 elioc2 12178 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
2826, 6, 27syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
2914, 20, 24, 28mpbir3and 1243 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))))
30 efif1olem1.1 . . 3 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
3129, 30syl6eleqr 2709 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷)
32 modval 12610 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
337, 11, 32sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
3433oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
356recnd 10012 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℂ)
367recnd 10012 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴𝑧) ∈ ℂ)
374, 10gt0ne0ii 10508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · π) ≠ 0
38 redivcl 10688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
394, 37, 38mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑧) ∈ ℝ → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
407, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
4140flcld 12539 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ)
4241zred 11426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ)
43 remulcl 9965 . . . . . . . . . . 11 (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
444, 42, 43sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
4544recnd 10012 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
4635, 36, 45subsubd 10364 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))) = (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
471recnd 10012 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
484recni 9996 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
50 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
5150recnd 10012 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
5247, 49, 51pnncand 10375 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) = ((2 · π) + 𝑧))
5352oveq1d 6619 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
5434, 46, 533eqtrd 2659 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
5554oveq2d 6620 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
56 addcl 9962 . . . . . . . 8 (((2 · π) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
5748, 51, 56sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
5851, 57, 45subsub4d 10367 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
5957, 51negsubdi2d 10352 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)))
6049, 51pncand 10337 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (2 · π))
6160negeqd 10219 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = -(2 · π))
6259, 61eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = -(2 · π))
63 neg1cn 11068 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
6448mulm1i 10419 . . . . . . . . . 10 (-1 · (2 · π)) = -(2 · π)
6563, 48, 64mulcomli 9991 . . . . . . . . 9 ((2 · π) · -1) = -(2 · π)
6662, 65syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = ((2 · π) · -1))
6766oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
6863a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℂ)
6941zcnd 11427 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℂ)
7049, 68, 69subdid 10430 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7167, 70eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7255, 58, 713eqtr2d 2661 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7372oveq1d 6619 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)))
74 neg1z 11357 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
75 zsubcl 11363 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
7674, 41, 75sylancr 694 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
7776zcnd 11427 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
78 divcan3 10655 . . . . . 6 (((-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
7948, 37, 78mp3an23 1413 . . . . 5 ((-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
8077, 79syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
8173, 80eqtrd 2655 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
8281, 76eqeltrd 2698 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ)
83 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → (𝑧𝑦) = (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))))
8483oveq1d 6619 . . . 4 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → ((𝑧𝑦) / (2 · π)) = ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)))
8584eleq1d 2683 . . 3 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → (((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ))
8685rspcev 3295 . 2 ((((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
8731, 82, 86syl2anc 692 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  cz 11321  +crp 11776  (,]cioc 12118  cfl 12531   mod cmo 12608  πcpi 14722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  efif1o  24196  eff1o  24199
  Copyright terms: Public domain W3C validator