Theorem efif1olem3 24011

Description: Lemma for efif1o 24013. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efif1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
efif1olem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑤,𝑥   𝑤,𝐷,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem efif1olem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
2		efif1o.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
3	1, 2	syl6eleq 2697	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (◡abs “ {1}))
4		absf 13871	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
5		ffn 5944	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
6		fniniseg 6231	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
8	3, 7	sylib 206	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
9	8	simpld 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	9	sqrtcld 13970	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	imcld 13729	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
12		absimle 13843	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝑥) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
14	9	sqsqrtd 13972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
15	14	fveq2d 6092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
16		2nn0 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17		absexp 13838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
18	10, 16, 17	sylancl 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
19	8	simprd 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
20	15, 18, 19	3eqtr3d 2651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
21		sq1 12775	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = 1
22	20, 21	syl6eqr 2661	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2))
23	10	abscld 13969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
24	10	absge0d 13977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
25		1re 9895	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 10400	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
27		sq11 12753	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
28	25, 26, 27	mpanr12 716	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
29	23, 24, 28	syl2anc 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
30	22, 29	mpbid 220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) = 1)
31	13, 30	breqtrd 4603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1)
32		absle 13849	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
33	11, 25, 32	sylancl 692	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
34	31, 33	mpbid 220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
35	34	simpld 473	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)))
36	34	simprd 477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)
37		neg1rr 10972	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ
38	37, 25	elicc2i 12066	. 2 ⊢ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) ↔ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
39	11, 35, 36, 38	syl3anbrc 1238	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  {csn 4124   class class class wbr 4577   ↦ cmpt 4637  ^◡ccnv 5027   “ cima 5031   Fn wfn 5785  ⟶wf 5786  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  ℂcc 9790  ℝcr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  ici 9794   · cmul 9797   ≤ cle 9931  -cneg 10118  2c2 10917  ℕ₀cn0 11139  [,]cicc 12005  ↑cexp 12677  ℑcim 13632  √csqrt 13767  abscabs 13768  expce 14577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-icc 12009  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770

This theorem is referenced by:  efif1olem4  24012