MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem3 24335
Description: Lemma for efif1o 24337. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1 𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2 𝐶 = (abs “ {1})
Assertion
Ref Expression
efif1olem3 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑤,𝑥   𝑤,𝐷,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem efif1olem3
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
2 efif1o.2 . . . . . . 7 𝐶 = (abs “ {1})
31, 2syl6eleq 2740 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (abs “ {1}))
4 absf 14121 . . . . . . 7 abs:ℂ⟶ℝ
5 ffn 6083 . . . . . . 7 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
6 fniniseg 6378 . . . . . . 7 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
83, 7sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
98simpld 474 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
109sqrtcld 14220 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
1110imcld 13979 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
12 absimle 14093 . . . . . 6 ((√‘𝑥) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
149sqsqrtd 14222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
1514fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
16 2nn0 11347 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
17 absexp 14088 . . . . . . . . 9 (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
1810, 16, 17sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
198simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
2015, 18, 193eqtr3d 2693 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
21 sq1 12998 . . . . . . 7 (1↑2) = 1
2220, 21syl6eqr 2703 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2))
2310abscld 14219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
2410absge0d 14227 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
25 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 0le1 10589 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
27 sq11 12976 . . . . . . . 8 ((((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
2825, 26, 27mpanr12 721 . . . . . . 7 (((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
2923, 24, 28syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
3022, 29mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) = 1)
3113, 30breqtrd 4711 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1)
32 absle 14099 . . . . 5 (((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
3311, 25, 32sylancl 695 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
3431, 33mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
3534simpld 474 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)))
3634simprd 478 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)
37 neg1rr 11163 . . 3 -1 ∈ ℝ
3837, 25elicc2i 12277 . 2 ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) ↔ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
3911, 35, 36, 38syl3anbrc 1265 1 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   · cmul 9979  cle 10113  -cneg 10305  2c2 11108  0cn0 11330  [,]cicc 12216  cexp 12900  cim 13882  csqrt 14017  abscabs 14018  expce 14836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-icc 12220  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  efif1olem4  24336
  Copyright terms: Public domain W3C validator