Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efifo 24197
 Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
efifo.2 𝐶 = (abs “ {1})
Assertion
Ref Expression
efifo 𝐹:ℝ–onto𝐶
Distinct variable group:   𝑧,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
2 ax-icn 9939 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 recn 9970 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
4 mulcl 9964 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 694 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6 efcl 14738 . . . . . . 7 ((i · 𝑧) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8 absefi 14851 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)
9 absf 14011 . . . . . . 7 abs:ℂ⟶ℝ
10 ffn 6002 . . . . . . 7 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
11 fniniseg 6294 . . . . . . 7 (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6 ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1))
137, 8, 12sylanbrc 697 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}))
14 efifo.2 . . . . 5 𝐶 = (abs “ {1})
1513, 14syl6eleqr 2709 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ 𝐶)
161, 15fmpti 6339 . . 3 𝐹:ℝ⟶𝐶
17 ffn 6002 . . 3 (𝐹:ℝ⟶𝐶𝐹 Fn ℝ)
1816, 17ax-mp 5 . 2 𝐹 Fn ℝ
19 frn 6010 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶𝐶 → ran 𝐹𝐶)
2016, 19ax-mp 5 . . 3 ran 𝐹𝐶
21 df-ima 5087 . . . . 5 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π)))
221reseq1i 5352 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π)))
23 0xr 10030 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
24 2re 11034 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
25 pire 24114 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
2624, 25remulcli 9998 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ∈ ℝ
27 elioc2 12178 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ (2 · π))))
2823, 26, 27mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ (2 · π)))
2928simp1bi 1074 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) → 𝑧 ∈ ℝ)
3029ssriv 3587 . . . . . . . . 9 (0(,](2 · π)) ⊆ ℝ
31 resmpt 5408 . . . . . . . . 9 ((0(,](2 · π)) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3322, 32eqtri 2643 . . . . . . 7 (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3433rneqi 5312 . . . . . 6 ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
35 0re 9984 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
36 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3726recni 9996 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ∈ ℂ
3837addid2i 10168 . . . . . . . . . . 11 (0 + (2 · π)) = (2 · π)
3938oveq2i 6615 . . . . . . . . . 10 (0(,](0 + (2 · π))) = (0(,](2 · π))
4039eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 (0(,](2 · π)) = (0(,](0 + (2 · π)))
4136, 14, 40efif1o 24196 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶)
4235, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶
43 f1ofo 6101 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶 → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto𝐶)
44 forn 6075 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto𝐶 → ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶)
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . 6 ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶
4634, 45eqtri 2643 . . . . 5 ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = 𝐶
4721, 46eqtri 2643 . . . 4 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = 𝐶
48 imassrn 5436 . . . 4 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) ⊆ ran 𝐹
4947, 48eqsstr3i 3615 . . 3 𝐶 ⊆ ran 𝐹
5020, 49eqssi 3599 . 2 ran 𝐹 = 𝐶
51 df-fo 5853 . 2 (𝐹:ℝ–onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐶))
5218, 50, 51mpbir2an 954 1 𝐹:ℝ–onto𝐶
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ◡ccnv 5073  ran crn 5075   ↾ cres 5076   “ cima 5077   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  –onto→wfo 5845  –1-1-onto→wf1o 5846  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  ici 9882   + caddc 9883   · cmul 9885  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019  2c2 11014  (,]cioc 12118  abscabs 13908  expce 14717  πcpi 14722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537 This theorem is referenced by:  circgrp  24202  circsubm  24203  circtopn  29683  circcn  29684
 Copyright terms: Public domain W3C validator