Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflt 14775
 Description: The exponential function on the reals is strictly monotonic. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eflt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem eflt
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1484 . 2
2 fveq2 6150 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
3 fveq2 6150 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐴))
4 fveq2 6150 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐵))
5 ssid 3605 . . 3 ℝ ⊆ ℝ
6 reefcl 14745 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
76adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
8 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
9 simp1 1059 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
108, 9resubcld 10405 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℝ)
11 posdif 10468 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦𝑥)))
1211biimp3a 1429 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (𝑦𝑥))
1310, 12elrpd 11816 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℝ+)
14 efgt1 14774 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑥) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝑦𝑥)))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 1 < (exp‘(𝑦𝑥)))
169reefcld 14746 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
1710reefcld 14746 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑦𝑥)) ∈ ℝ)
18 efgt0 14761 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝑥))
199, 18syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (exp‘𝑥))
20 ltmulgt11 10830 . . . . . . . 8 (((exp‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝑦𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘𝑥)) → (1 < (exp‘(𝑦𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥)))))
2116, 17, 19, 20syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (1 < (exp‘(𝑦𝑥)) ↔ (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥)))))
2215, 21mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))))
239recnd 10015 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
2410recnd 10015 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
25 efadd 14752 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑦𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))))
2623, 24, 25syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))))
278recnd 10015 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
2823, 27pncan3d 10342 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 + (𝑦𝑥)) = 𝑦)
2928fveq2d 6154 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘(𝑥 + (𝑦𝑥))) = (exp‘𝑦))
3026, 29eqtr3d 2657 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑦𝑥))) = (exp‘𝑦))
3122, 30breqtrd 4641 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦))
32313expia 1264 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
3332adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 → (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
342, 3, 4, 5, 7, 33ltord1 10501 . 2 ((⊤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))
351, 34mpan 705 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (exp‘𝐴) < (exp‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480  ⊤wtru 1481   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4615  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  ℂcc 9881  ℝcr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021   − cmin 10213  ℝ+crp 11779  expce 14720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-ico 12126  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-fac 13004  df-bc 13033  df-hash 13061  df-shft 13744  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-ef 14726 This theorem is referenced by:  efle  14776  reefiso  24113  logdivlti  24277  divlogrlim  24288  cxplt  24347  birthday  24588  cxploglim  24611  emgt0  24640  bposlem6  24921  bposlem9  24924  pntpbnd1a  25181  pntibndlem2  25187  pntlemb  25193  ostth2lem3  25231  ostth2  25233
 Copyright terms: Public domain W3C validator