MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efsubm 25062
Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number is a submonoid of the multiplicative group of fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
efabl.1 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
Assertion
Ref Expression
efsubm (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efsubm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eff 15423 . . . . . 6 exp:ℂ⟶ℂ
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
3 efabl.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 efabl.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6 cnfldbas 20477 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
76subgss 18218 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
98sselda 3964 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
104, 9mulcld 10649 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
112, 10ffvelrnd 6844 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
1211ralrimiva 3179 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
13 efabl.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
1413rnmptss 6878 . . 3 (∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
1512, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
163mul01d 10827 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
1716fveq2d 6667 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
18 ef0 15432 . . . 4 (exp‘0) = 1
1917, 18syl6eq 2869 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = 1)
20 cnfld0 20497 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
2120subg0cl 18225 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑋)
225, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
23 fvex 6676 . . . 4 (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V
24 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 0))
2524fveq2d 6667 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
2613, 25elrnmpt1s 5822 . . . 4 ((0 ∈ 𝑋 ∧ (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V) → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
2722, 23, 26sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
2819, 27eqeltrrd 2911 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ran 𝐹)
29 efabl.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
3013, 29, 3, 5efabl 25061 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
31 ablgrp 18840 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
33323ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐺 ∈ Grp)
34 simp2 1129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
35 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
3635, 6mgpbas 19174 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
3729, 36ressbas2 16543 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
3815, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
39383ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
4034, 39eleqtrd 2912 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
41 simp3 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
4241, 39eleqtrd 2912 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
43 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
44 eqid 2818 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4543, 44grpcl 18049 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
4633, 40, 42, 45syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
475mptexd 6978 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
4813, 47eqeltrid 2914 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
49 rnexg 7603 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
50 cnfldmul 20479 . . . . . . . . . 10 · = (.r‘ℂfld)
5135, 50mgpplusg 19172 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
5229, 51ressplusg 16600 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g𝐺))
5348, 49, 523syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → · = (+g𝐺))
54533ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → · = (+g𝐺))
5554oveqd 7162 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
5646, 55, 393eltr4d 2925 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
57563expb 1112 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
5857ralrimivva 3188 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
59 cnring 20495 . . 3 fld ∈ Ring
6035ringmgp 19232 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
61 cnfld1 20498 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
6235, 61ringidval 19182 . . . 4 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
6336, 62, 51issubm 17956 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)))
6459, 60, 63mp2b 10 . 2 (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹))
6515, 28, 58, 64syl3anbrc 1335 1 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  wss 3933  cmpt 5137  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530  expce 15403  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  Mndcmnd 17899  SubMndcsubmnd 17943  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  Abelcabl 18836  mulGrpcmgp 19168  Ringcrg 19226  fldccnfld 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-cnfld 20474
This theorem is referenced by:  circsubm  25064
  Copyright terms: Public domain W3C validator