MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efvmacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efvmacl 24827
Description: The von Mangoldt is closed in the log-integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
efvmacl (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem efvmacl
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6178 . . . 4 ((Λ‘𝐴) = 0 → (exp‘(Λ‘𝐴)) = (exp‘0))
2 ef0 14802 . . . 4 (exp‘0) = 1
31, 2syl6eq 2670 . . 3 ((Λ‘𝐴) = 0 → (exp‘(Λ‘𝐴)) = 1)
43eleq1d 2684 . 2 ((Λ‘𝐴) = 0 → ((exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
5 isppw2 24822 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘)))
6 vmappw 24823 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝𝑘)) = (log‘𝑝))
76fveq2d 6182 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(Λ‘(𝑝𝑘))) = (exp‘(log‘𝑝)))
8 prmnn 15369 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
98nnrpd 11855 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
109reeflogd 24351 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
1110, 8eqeltrd 2699 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ)
137, 12eqeltrd 2699 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(Λ‘(𝑝𝑘))) ∈ ℕ)
14 fveq2 6178 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝐴) = (Λ‘(𝑝𝑘)))
1514fveq2d 6182 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑝𝑘) → (exp‘(Λ‘𝐴)) = (exp‘(Λ‘(𝑝𝑘))))
1615eleq1d 2684 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑝𝑘) → ((exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ ↔ (exp‘(Λ‘(𝑝𝑘))) ∈ ℕ))
1713, 16syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝𝑘) → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ))
1817rexlimivv 3032 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘) → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)
195, 18syl6bi 243 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ))
2019imp 445 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (Λ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)
21 1nn 11016 . . 3 1 ∈ ℕ
2221a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
234, 20, 22pm2.61ne 2876 1 (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  1c1 9922  cn 11005  cexp 12843  expce 14773  cprime 15366  logclog 24282  Λcvma 24799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-sin 14781  df-cos 14782  df-pi 14784  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-pc 15523  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612  df-log 24284  df-vma 24805
This theorem is referenced by:  vmage0  24828  efchpcl  24832
  Copyright terms: Public domain W3C validator