Theorem ehlbase 22919

Description: The base of the Euclidean space is the set of n-tuples of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ehlval.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ehlbase	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) = (Base‘𝐸))

Proof of Theorem ehlbase

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehlval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
2	1	ehlval 22918	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
3	2	fveq2d 6092	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘𝐸) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
4		rabid2 3095	. . . 4 ⊢ ((ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))𝑓 finSupp 0)
5		elmapi 7742	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑓:(1...𝑁)⟶ℝ)
6		fzfid 12589	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
7		0red 9897	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	fdmfifsupp 8145	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑓 finSupp 0)
9	4, 8	mprgbir 2910	. . 3 ⊢ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0}
10		ovex 6555	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
11		eqid 2609	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘(1...𝑁))
12		eqid 2609	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
13	11, 12	rrxbase 22901	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0})
14	10, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0}
15	9, 14	eqtr4i 2634	. 2 ⊢ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
16	3, 15	syl6reqr 2662	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) = (Base‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  {crab 2899  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527   ↑_𝑚 cmap 7721   finSupp cfsupp 8135  ℝcr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  ℕ₀cn0 11139  ...cfz 12152  Basecbs 15641  ℝ^crrx 22896  𝔼_hilcehl 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-0g 15871  df-prds 15877  df-pws 15879  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-subg 17360  df-cmn 17964  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-field 18519  df-subrg 18547  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-cnfld 19514  df-refld 19715  df-dsmm 19837  df-frlm 19852  df-tng 22140  df-tch 22701  df-rrx 22898  df-ehl 22899

This theorem is referenced by:  k0004ss3  37267