HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigorthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigorthi 27881
Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for two eigenvectors 𝐴 and 𝐵 to be orthogonal. Generalization of Equation 1.31 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 23-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigorthi.1 𝐴 ∈ ℋ
eigorthi.2 𝐵 ∈ ℋ
eigorthi.3 𝐶 ∈ ℂ
eigorthi.4 𝐷 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
eigorthi ((((𝑇𝐴) = (𝐶 · 𝐴) ∧ (𝑇𝐵) = (𝐷 · 𝐵)) ∧ 𝐶 ≠ (∗‘𝐷)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Proof of Theorem eigorthi
StepHypRef Expression
1 oveq2 6530 . . . 4 ((𝑇𝐵) = (𝐷 · 𝐵) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐴 ·ih (𝐷 · 𝐵)))
2 eigorthi.4 . . . . 5 𝐷 ∈ ℂ
3 eigorthi.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
4 eigorthi.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
5 his5 27128 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐷 · 𝐵)) = ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
62, 3, 4, 5mp3an 1415 . . . 4 (𝐴 ·ih (𝐷 · 𝐵)) = ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵))
71, 6syl6eq 2654 . . 3 ((𝑇𝐵) = (𝐷 · 𝐵) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
8 oveq1 6529 . . . 4 ((𝑇𝐴) = (𝐶 · 𝐴) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) ·ih 𝐵))
9 eigorthi.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
10 ax-his3 27126 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐶 · 𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
119, 3, 4, 10mp3an 1415 . . . 4 ((𝐶 · 𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))
128, 11syl6eq 2654 . . 3 ((𝑇𝐴) = (𝐶 · 𝐴) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
137, 12eqeqan12rd 2622 . 2 (((𝑇𝐴) = (𝐶 · 𝐴) ∧ (𝑇𝐵) = (𝐷 · 𝐵)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ↔ ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
143, 4hicli 27123 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
152cjcli 13698 . . . . . . . . 9 (∗‘𝐷) ∈ ℂ
16 mulcan2 10509 . . . . . . . . 9 (((∗‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ≠ 0)) → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ↔ (∗‘𝐷) = 𝐶))
1715, 9, 16mp3an12 1405 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ≠ 0) → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ↔ (∗‘𝐷) = 𝐶))
1814, 17mpan 701 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ↔ (∗‘𝐷) = 𝐶))
19 eqcom 2611 . . . . . . 7 ((∗‘𝐷) = 𝐶𝐶 = (∗‘𝐷))
2018, 19syl6bb 274 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐵) ≠ 0 → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ↔ 𝐶 = (∗‘𝐷)))
2120biimpcd 237 . . . . 5 (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) → ((𝐴 ·ih 𝐵) ≠ 0 → 𝐶 = (∗‘𝐷)))
2221necon1d 2798 . . . 4 (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) → (𝐶 ≠ (∗‘𝐷) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
2322com12 32 . . 3 (𝐶 ≠ (∗‘𝐷) → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
24 oveq2 6530 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((∗‘𝐷) · 0))
25 oveq2 6530 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · 0))
269mul01i 10072 . . . . . 6 (𝐶 · 0) = 0
2715mul01i 10072 . . . . . 6 ((∗‘𝐷) · 0) = 0
2826, 27eqtr4i 2629 . . . . 5 (𝐶 · 0) = ((∗‘𝐷) · 0)
2925, 28syl6eq 2654 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((∗‘𝐷) · 0))
3024, 29eqtr4d 2641 . . 3 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
3123, 30impbid1 213 . 2 (𝐶 ≠ (∗‘𝐷) → (((∗‘𝐷) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
3213, 31sylan9bb 731 1 ((((𝑇𝐴) = (𝐶 · 𝐴) ∧ (𝑇𝐵) = (𝐷 · 𝐵)) ∧ 𝐶 ≠ (∗‘𝐷)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) ↔ (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  cfv 5785  (class class class)co 6522  cc 9785  0cc0 9787   · cmul 9792  ccj 13625  chil 26961   · csm 26963   ·ih csp 26964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-hfvmul 27047  ax-hfi 27121  ax-his1 27124  ax-his3 27126
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-2 10921  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630
This theorem is referenced by:  eigorth  27882
  Copyright terms: Public domain W3C validator