Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigre 29024
 Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for an eigenvalue 𝐵 to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 19-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
eigre (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem eigre
StepHypRef Expression
1 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝑇𝐴) = (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
2 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
31, 2eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
4 neeq1 2994 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ≠ 0 ↔ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0))
53, 4anbi12d 749 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0)))
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
76, 1oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
81, 6oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
97, 8eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
109bibi1d 332 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
115, 10imbi12d 333 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))))
12 oveq1 6821 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1312eqeq2d 2770 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
1413anbi1d 743 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) ↔ ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0)))
15 eleq1 2827 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
1615bibi2d 331 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ)))
1714, 16imbi12d 333 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (𝐵 · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))))
18 ifhvhv0 28209 . . . 4 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
19 0cn 10244 . . . . 5 0 ∈ ℂ
2019elimel 4294 . . . 4 if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
2118, 20eigrei 29023 . . 3 (((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) · if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ∧ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ≠ 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih (𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((𝑇‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) ↔ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℝ))
2211, 17, 21dedth2h 4284 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ)))
2322imp 444 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ifcif 4230  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148   ℋchil 28106   ·ℎ csm 28108   ·ih csp 28109  0ℎc0v 28111 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-hv0cl 28190  ax-hfvmul 28192  ax-hfi 28266  ax-his1 28269  ax-his3 28271  ax-his4 28272 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060 This theorem is referenced by:  eighmre  29152
 Copyright terms: Public domain W3C validator