Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigrei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eigrei 28821
 Description: A necessary and sufficient condition (that holds when 𝑇 is a Hermitian operator) for an eigenvalue 𝐵 to be real. Generalization of Equation 1.30 of [Hughes] p. 49. (Contributed by NM, 21-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigre.1 𝐴 ∈ ℋ
eigre.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
eigrei (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem eigrei
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . 5 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)))
2 eigre.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
3 eigre.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
4 his5 28071 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
52, 3, 3, 4mp3an 1464 . . . . 5 (𝐴 ·ih (𝐵 · 𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
61, 5syl6eq 2701 . . . 4 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → (𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
7 oveq1 6697 . . . . 5 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) ·ih 𝐴))
8 ax-his3 28069 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 · 𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
92, 3, 3, 8mp3an 1464 . . . . 5 ((𝐵 · 𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴))
107, 9syl6eq 2701 . . . 4 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)))
116, 10eqeq12d 2666 . . 3 ((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ ((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴))))
123, 3hicli 28066 . . . 4 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
13 ax-his4 28070 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
143, 13mpan 706 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
1514gt0ne0d 10630 . . . 4 (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)
162cjcli 13953 . . . . 5 (∗‘𝐵) ∈ ℂ
17 mulcan2 10703 . . . . 5 (((∗‘𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0)) → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
1816, 2, 17mp3an12 1454 . . . 4 (((𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ≠ 0) → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
1912, 15, 18sylancr 696 . . 3 (𝐴 ≠ 0 → (((∗‘𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) = (𝐵 · (𝐴 ·ih 𝐴)) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
2011, 19sylan9bb 736 . 2 (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵))
212cjrebi 13958 . 2 (𝐵 ∈ ℝ ↔ (∗‘𝐵) = 𝐵)
2220, 21syl6bbr 278 1 (((𝑇𝐴) = (𝐵 · 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ·ih (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979   < clt 10112  ∗ccj 13880   ℋchil 27904   ·ℎ csm 27906   ·ih csp 27907  0ℎc0v 27909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hfvmul 27990  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his3 28069  ax-his4 28070 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885 This theorem is referenced by:  eigre  28822  eigposi  28823
 Copyright terms: Public domain W3C validator