MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eirr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eirr 14714
Description: e is irrational. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
eirr e ∉ ℚ

Proof of Theorem eirr
Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2605 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
2 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑝 ∈ ℤ)
3 simplr 787 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ)
4 simpr 475 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞)) → e = (𝑝 / 𝑞))
51, 2, 3, 4eirrlem 14713 . . . . . 6 ¬ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞))
65imnani 437 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ¬ e = (𝑝 / 𝑞))
76nrexdv 2979 . . . 4 (𝑝 ∈ ℤ → ¬ ∃𝑞 ∈ ℕ e = (𝑝 / 𝑞))
87nrex 2978 . . 3 ¬ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ e = (𝑝 / 𝑞)
9 elq 11618 . . 3 (e ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ e = (𝑝 / 𝑞))
108, 9mtbir 311 . 2 ¬ e ∈ ℚ
1110nelir 2881 1 e ∉ ℚ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wnel 2776  wrex 2892  cmpt 4633  cfv 5786  (class class class)co 6523  1c1 9789   / cdiv 10529  cn 10863  0cn0 11135  cz 11206  cq 11616  !cfa 12873  eceu 14574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-ico 12004  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-bc 12903  df-hash 12931  df-shft 13597  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-ef 14579  df-e 14580
This theorem is referenced by:  egt2lt3  14715
  Copyright terms: Public domain W3C validator