MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eirrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eirrlem 14640
Description: Lemma for eirr 14641. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
eirr.4 (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
Assertion
Ref Expression
eirrlem ¬ 𝜑
Distinct variable group:   𝑄,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirrlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 14519 . . . . . . . . . 10 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
2 fveq2 5987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
32oveq2d 6442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
4 eirr.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
5 ovex 6454 . . . . . . . . . . . 12 (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6075 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
76sumeq2i 14146 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
81, 7eqtr4i 2539 . . . . . . . . 9 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘)
9 nn0uz 11462 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
10 eqid 2514 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘(𝑄 + 1)) = (ℤ‘(𝑄 + 1))
11 eirr.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
1211peano2nnd 10792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
1312nnnn0d 11106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
14 eqidd 2515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
15 nn0z 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
16 1exp 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
1817oveq1d 6441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
1918mpteq2ia 4566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
204, 19eqtr4i 2539 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2120eftval 14515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2221adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
23 ax-1cn 9749 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
25 eftcl 14512 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2624, 25sylan 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2722, 26eqeltrd 2592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2820efcllem 14516 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2924, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
309, 10, 13, 14, 27, 29isumsplit 14280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
318, 30syl5eq 2560 . . . . . . . 8 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3211nncnd 10791 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
33 pncan 10038 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3432, 23, 33sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3534oveq2d 6442 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
3635sumeq1d 14148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))
3736oveq1d 6441 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3831, 37eqtrd 2548 . . . . . . 7 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3938oveq1d 6441 . . . . . 6 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))
40 fzfid 12502 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
41 elfznn0 12170 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4241, 27sylan2 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4340, 42fsumcl 14180 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
446adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
45 faccl 12800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4645adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4746nnrpd 11612 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
4847rpreccld 11624 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
4944, 48eqeltrd 2592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
509, 10, 13, 14, 49, 29isumrpcl 14283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5150rpred 11614 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5251recnd 9823 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5343, 52pncan2d 10145 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5439, 53eqtrd 2548 . . . . 5 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5554oveq2d 6442 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
5611nnnn0d 11106 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℕ0)
57 faccl 12800 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
5958nncnd 10791 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
60 ere 14527 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
6160recni 9807 . . . . . 6 e ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → e ∈ ℂ)
6359, 62, 43subdid 10236 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6455, 63eqtr3d 2550 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
65 eirr.4 . . . . . . 7 (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
6665oveq2d 6442 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
67 eirr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6867zcnd 11223 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
6911nnne0d 10820 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ≠ 0)
7059, 68, 32, 69div12d 10586 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
7166, 70eqtrd 2548 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
7211nnred 10790 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
7372leidd 10343 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑄)
74 facdiv 12804 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7556, 11, 73, 74syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7675nnzd 11221 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
7767, 76zmulcld 11228 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
7871, 77eqeltrd 2592 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℤ)
7940, 59, 42fsummulc2 14227 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)))
8041adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8180, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
8281oveq2d 6442 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8359adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
8441, 46sylan2 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
8584nncnd 10791 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
86 facne0 12803 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≠ 0)
8780, 86syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
8883, 85, 87divrecd 10553 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8982, 88eqtr4d 2551 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
90 permnn 12843 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9190adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9289, 91eqeltrd 2592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℕ)
9392nnzd 11221 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9440, 93fsumzcl 14182 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9579, 94eqeltrd 2592 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9678, 95zsubcld 11227 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) ∈ ℤ)
9764, 96eqeltrd 2592 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
98 0zd 11130 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
9958nnrpd 11612 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
10099, 50rpmulcld 11630 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
101100rpgt0d 11617 . . 3 (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
10212peano2nnd 10792 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
103102nnred 10790 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
104 faccl 12800 . . . . . . . . 9 ((𝑄 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
10513, 104syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
106105, 12nnmulcld 10823 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
107103, 106nndivred 10824 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
10858nnrecred 10821 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
109 abs1 13744 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘1) = 1
110109oveq1i 6436 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
111110oveq1i 6436 . . . . . . . . . 10 (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
112111mpteq2i 4567 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11320, 112eqtr4i 2539 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
114 eqid 2514 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
115 1le1 10404 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 1
116109, 115eqbrtri 4502 . . . . . . . . 9 (abs‘1) ≤ 1
117116a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
11820, 113, 114, 12, 24, 117eftlub 14547 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
11950rprege0d 11621 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
120 absid 13743 . . . . . . . 8 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
121119, 120syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
122109oveq1i 6436 . . . . . . . . . 10 ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
12312nnzd 11221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
124 1exp 12619 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
126122, 125syl5eq 2560 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
127126oveq1d 6441 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
128107recnd 9823 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
129128mulid2d 9813 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
130127, 129eqtrd 2548 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
131118, 121, 1303brtr3d 4512 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
13212nnred 10790 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
133132, 132readdcld 9824 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
134132, 132remulcld 9825 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
135 1red 9810 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13611nnge1d 10818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
137 1nn 10786 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
138 nnleltp1 11173 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
139137, 11, 138sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
140136, 139mpbid 220 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
141135, 132, 132, 140ltadd2dd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
14212nncnd 10791 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
1431422timesd 11030 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
144 df-2 10834 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
145135, 72, 135, 136leadd1dd 10390 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
146144, 145syl5eqbr 4516 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
147 2re 10845 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
14912nngt0d 10819 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
150 lemul1 10624 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
151148, 132, 132, 149, 150syl112anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
152146, 151mpbid 220 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
153143, 152eqbrtrrd 4505 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
154103, 133, 134, 141, 153ltletrd 9948 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
155 facp1 12795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
15656, 155syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
157156oveq1d 6441 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
158105nncnd 10791 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
15958nnne0d 10820 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑄) ≠ 0)
160158, 59, 159divrecd 10553 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
161142, 59, 159divcan3d 10555 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
162157, 160, 1613eqtr3rd 2557 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163162oveq1d 6441 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
164108recnd 9823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
165158, 164, 142mul32d 9997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
166163, 165eqtrd 2548 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
167154, 166breqtrd 4507 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
168106nnred 10790 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
169106nngt0d 10819 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
170 ltdivmul 10647 . . . . . . . 8 ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
171103, 108, 168, 169, 170syl112anc 1321 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
172167, 171mpbird 245 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
17351, 107, 108, 131, 172lelttrd 9946 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
17451, 135, 99ltmuldiv2d 11662 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
175173, 174mpbird 245 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1)
176 0p1e1 10887 . . . 4 (0 + 1) = 1
177175, 176syl6breqr 4523 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1))
178 btwnnz 11193 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1)) → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
17998, 101, 177, 178syl3anc 1317 . 2 (𝜑 → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
18097, 179pm2.65i 183 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684   class class class wbr 4481  cmpt 4541  dom cdm 4932  cfv 5689  (class class class)co 6426  cc 9689  cr 9690  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694   · cmul 9696   < clt 9829  cle 9830  cmin 10017   / cdiv 10433  cn 10775  2c2 10825  0cn0 11047  cz 11118  cuz 11427  +crp 11574  ...cfz 12065  seqcseq 12531  cexp 12590  !cfa 12790  abscabs 13681  cli 13929  Σcsu 14133  eceu 14501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-pm 7623  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-rp 11575  df-ico 11921  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-fl 12323  df-seq 12532  df-exp 12591  df-fac 12791  df-bc 12820  df-hash 12848  df-shft 13514  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-limsup 13910  df-clim 13933  df-rlim 13934  df-sum 14134  df-ef 14506  df-e 14507
This theorem is referenced by:  eirr  14641
  Copyright terms: Public domain W3C validator