MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eirrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eirrlem 14976
Description: Lemma for eirr 14977. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
eirr.4 (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
Assertion
Ref Expression
eirrlem ¬ 𝜑
Distinct variable group:   𝑄,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirrlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 14855 . . . . . . . . . 10 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
2 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
32oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
4 eirr.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
5 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6321 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
76sumeq2i 14473 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
81, 7eqtr4i 2676 . . . . . . . . 9 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘)
9 nn0uz 11760 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
10 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘(𝑄 + 1)) = (ℤ‘(𝑄 + 1))
11 eirr.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
1211peano2nnd 11075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
1312nnnn0d 11389 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
14 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
15 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
16 1exp 12929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
1817oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
1918mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
204, 19eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2120eftval 14851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
23 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
25 eftcl 14848 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2624, 25sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2722, 26eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2820efcllem 14852 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2924, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
309, 10, 13, 14, 27, 29isumsplit 14616 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
318, 30syl5eq 2697 . . . . . . . 8 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3211nncnd 11074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
33 pncan 10325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3432, 23, 33sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3534oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
3635sumeq1d 14475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))
3736oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3831, 37eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3938oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))
40 fzfid 12812 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
41 elfznn0 12471 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4241, 27sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4340, 42fsumcl 14508 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
446adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
45 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4746nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
4847rpreccld 11920 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
4944, 48eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
509, 10, 13, 14, 49, 29isumrpcl 14619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5150rpred 11910 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5251recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5343, 52pncan2d 10432 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5439, 53eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5554oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
5611nnnn0d 11389 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℕ0)
57 faccl 13110 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
5958nncnd 11074 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
60 ere 14863 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
6160recni 10090 . . . . . 6 e ∈ ℂ
6261a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → e ∈ ℂ)
6359, 62, 43subdid 10524 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6455, 63eqtr3d 2687 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
65 eirr.4 . . . . . . 7 (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
6665oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
67 eirr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6867zcnd 11521 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
6911nnne0d 11103 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ≠ 0)
7059, 68, 32, 69div12d 10875 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
7166, 70eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
7211nnred 11073 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
7372leidd 10632 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑄)
74 facdiv 13114 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7556, 11, 73, 74syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7675nnzd 11519 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
7767, 76zmulcld 11526 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
7871, 77eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℤ)
7940, 59, 42fsummulc2 14560 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)))
8041adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8180, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
8281oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8359adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
8441, 46sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
8584nncnd 11074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
86 facne0 13113 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≠ 0)
8780, 86syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
8883, 85, 87divrecd 10842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8982, 88eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
90 permnn 13153 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9190adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9289, 91eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℕ)
9392nnzd 11519 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9440, 93fsumzcl 14510 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9579, 94eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9678, 95zsubcld 11525 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) ∈ ℤ)
9764, 96eqeltrd 2730 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
98 0zd 11427 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
9958nnrpd 11908 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
10099, 50rpmulcld 11926 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
101100rpgt0d 11913 . . 3 (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
10212peano2nnd 11075 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
103102nnred 11073 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
104 faccl 13110 . . . . . . . . 9 ((𝑄 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
10513, 104syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
106105, 12nnmulcld 11106 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
107103, 106nndivred 11107 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
10858nnrecred 11104 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
109 abs1 14081 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘1) = 1
110109oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
111110oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
112111mpteq2i 4774 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11320, 112eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
114 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
115 1le1 10693 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 1
116109, 115eqbrtri 4706 . . . . . . . . 9 (abs‘1) ≤ 1
117116a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
11820, 113, 114, 12, 24, 117eftlub 14883 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
11950rprege0d 11917 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
120 absid 14080 . . . . . . . 8 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
121119, 120syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
122109oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
12312nnzd 11519 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
124 1exp 12929 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
126122, 125syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
127126oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
128107recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
129128mulid2d 10096 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
130127, 129eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
131118, 121, 1303brtr3d 4716 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
13212nnred 11073 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
133132, 132readdcld 10107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
134132, 132remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
135 1red 10093 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13611nnge1d 11101 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
137 1nn 11069 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
138 nnleltp1 11470 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
139137, 11, 138sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
140136, 139mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
141135, 132, 132, 140ltadd2dd 10234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
14212nncnd 11074 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
1431422timesd 11313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
144 df-2 11117 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
145135, 72, 135, 136leadd1dd 10679 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
146144, 145syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
147 2re 11128 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
14912nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
150 lemul1 10913 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
151148, 132, 132, 149, 150syl112anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
152146, 151mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
153143, 152eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
154103, 133, 134, 141, 153ltletrd 10235 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
155 facp1 13105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
15656, 155syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
157156oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
158105nncnd 11074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
15958nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑄) ≠ 0)
160158, 59, 159divrecd 10842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
161142, 59, 159divcan3d 10844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
162157, 160, 1613eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163162oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
164108recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
165158, 164, 142mul32d 10284 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
166163, 165eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
167154, 166breqtrd 4711 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
168106nnred 11073 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
169106nngt0d 11102 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
170 ltdivmul 10936 . . . . . . . 8 ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
171103, 108, 168, 169, 170syl112anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
172167, 171mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
17351, 107, 108, 131, 172lelttrd 10233 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
17451, 135, 99ltmuldiv2d 11958 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
175173, 174mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1)
176 0p1e1 11170 . . . 4 (0 + 1) = 1
177175, 176syl6breqr 4727 . . 3 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1))
178 btwnnz 11491 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1)) → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
17998, 101, 177, 178syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
18097, 179pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cexp 12900  !cfa 13100  abscabs 14018  cli 14259  Σcsu 14460  eceu 14837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843
This theorem is referenced by:  eirr  14977
  Copyright terms: Public domain W3C validator