Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  el0ldepsnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem el0ldepsnzr 42021
 Description: A set containing the zero element of a module over a nonzero ring is always linearly dependent. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
el0ldepsnzr (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)

Proof of Theorem el0ldepsnzr
StepHypRef Expression
1 simp1l 1083 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
2 eqid 2620 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
32isnzr2hash 19245 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑀) ∈ NzRing ↔ ((Scalar‘𝑀) ∈ Ring ∧ 1 < (#‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))))
43simprbi 480 . . . . 5 ((Scalar‘𝑀) ∈ NzRing → 1 < (#‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
54adantl 482 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) → 1 < (#‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
653ad2ant1 1080 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑆) → 1 < (#‘(Base‘(Scalar‘𝑀))))
71, 6jca 554 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 1 < (#‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))))
8 el0ldep 42020 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 1 < (#‘(Base‘(Scalar‘𝑀)))) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)
97, 8syld3an1 1370 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ NzRing) ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝑆) → 𝑆 linDepS 𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1988  𝒫 cpw 4149   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  1c1 9922   < clt 10059  #chash 13100  Basecbs 15838  Scalarcsca 15925  0gc0g 16081  Ringcrg 18528  LModclmod 18844  NzRingcnzr 19238   linDepS clindeps 41995 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-seq 12785  df-hash 13101  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-lmod 18846  df-nzr 19239  df-linc 41960  df-lininds 41996  df-lindeps 41998 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator