Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elaa 24116
 Description: Elementhood in the set of algebraic numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
elaa (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem elaa
StepHypRef Expression
1 df-aa 24115 . . 3 𝔸 = 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓 “ {0})
21eleq2i 2722 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ 𝐴 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓 “ {0}))
3 eliun 4556 . . 3 (𝐴 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓 “ {0}) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (𝑓 “ {0}))
4 eldifi 3765 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → 𝑓 ∈ (Poly‘ℤ))
5 plyf 23999 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝑓:ℂ⟶ℂ)
6 ffn 6083 . . . . . 6 (𝑓:ℂ⟶ℂ → 𝑓 Fn ℂ)
7 fniniseg 6378 . . . . . 6 (𝑓 Fn ℂ → (𝐴 ∈ (𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓𝐴) = 0)))
84, 5, 6, 74syl 19 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) → (𝐴 ∈ (𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓𝐴) = 0)))
98rexbiia 3069 . . . 4 (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (𝑓 “ {0}) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓𝐴) = 0))
10 r19.42v 3121 . . . 4 (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑓𝐴) = 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
119, 10bitri 264 . . 3 (∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})𝐴 ∈ (𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
123, 11bitri 264 . 2 (𝐴 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓 “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
132, 12bitri 264 1 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604  {csn 4210  ∪ ciun 4552  ◡ccnv 5142   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  ℂcc 9972  0cc0 9974  ℤcz 11415  0𝑝c0p 23481  Polycply 23985  𝔸caa 24114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-ply 23989  df-aa 24115 This theorem is referenced by:  aacn  24117  elqaalem3  24121  elqaa  24122  iaa  24125  aareccl  24126  aacjcl  24127  aannenlem2  24129  aaliou2  24140  elaa2  40769
 Copyright terms: Public domain W3C validator