MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbl3 22929
Description: Membership in a ball, with reversed distance function arguments. (Contributed by NM, 10-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
elbl3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Proof of Theorem elbl3
StepHypRef Expression
1 elbl2 22927 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
2 xmetsym 22884 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝑃))
323expb 1112 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝑃))
43adantlr 711 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝑃))
54breq1d 5067 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃𝐷𝐴) < 𝑅 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
61, 5bitrd 280 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  *cxr 10662   < clt 10663  ∞Metcxmet 20458  ballcbl 20460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-xadd 12496  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-bl 20468
This theorem is referenced by:  blcom  22931  reperflem  23353  reconnlem2  23362  ellimc3  24404  dvlip2  24519  lhop1lem  24537  ulmdvlem1  24915  pserdvlem2  24943  abelthlem2  24947  abelthlem3  24948  abelthlem5  24950  abelthlem7  24953  efopn  25168  logtayl  25170  xrlimcnp  25473  efrlim  25474  lgamucov  25542  lgamcvg2  25559  tpr2rico  31054  heibor1lem  34968
  Copyright terms: Public domain W3C validator