MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcncf1di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcncf1di 22433
Description: Membership in the set of continuous complex functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
elcncf1d.1 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
elcncf1d.2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
elcncf1d.3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
elcncf1di (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elcncf1di
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcncf1d.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 elcncf1d.2 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
32imp 443 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
4 an32 834 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ↔ ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐴))
54anbi2i 725 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐴)))
6 anass 678 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐴)))
75, 6bitr4i 265 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝐴))
8 elcncf1d.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
98imp 443 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
107, 9sylbir 223 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝐴) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
1110ralrimiva 2944 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
12 breq2 4577 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑍 → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍))
1312imbi1d 329 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑍 → (((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
1413ralbidv 2964 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦) ↔ ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
1514rspcev 3277 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
163, 11, 15syl2anc 690 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
1716ralrimivva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
181, 17jca 552 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
19 elcncf 22427 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
2018, 19syl5ibrcom 235 1 (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  wrex 2892  wss 3535   class class class wbr 4573  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786   < clt 9926  cmin 10113  +crp 11660  abscabs 13764  cnccncf 22414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-map 7719  df-cncf 22416
This theorem is referenced by:  elcncf1ii  22434
  Copyright terms: Public domain W3C validator