Theorem elcnfnt 9804

Description: Property defining a continuous functional.

Assertion

Ref	Expression
elcnfnt	⊢ (T ∈ ConFn ↔ (T: ℋ –→ℂ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℝ (0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y)))))

Distinct variable group:   x,w,y,z,T

Proof of Theorem elcnfnt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1820	. 2 ⊢ (T ∈ ConFn → T ∈ V)
2		ax-hilex 8864	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
3		fex 3658	. . . 4 ⊢ ((T: ℋ –→ℂ ⋀ ℋ ∈ V) → T ∈ V)
4	2, 3	mpan2 698	. . 3 ⊢ (T: ℋ –→ℂ → T ∈ V)
5	4	adantr 391	. 2 ⊢ ((T: ℋ –→ℂ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℝ (0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y)))) → T ∈ V)
6		feq1 3626	. . . 4 ⊢ (t = T → (t: ℋ –→ℂ ↔ T: ℋ –→ℂ))
7		fveq1 3729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = T → (t ‘w) = (T ‘w))
8		fveq1 3729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = T → (t ‘x) = (T ‘x))
9	7, 8	opreq12d 3984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (t = T → ((t ‘w) − (t ‘x)) = ((T ‘w) − (T ‘x)))
10	9	fveq2d 3734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (t = T → (abs ‘((t ‘w) − (t ‘x))) = (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))))
11	10	breq1d 2634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (t = T → ((abs ‘((t ‘w) − (t ‘x))) < y ↔ (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y))
12	11	imbi2d 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (t = T → (((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((t ‘w) − (t ‘x))) < y) ↔ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y)))
13	12	ralbidv 1666	. . . . . . . 8 ⊢ (t = T → (∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((t ‘w) − (t ‘x))) < y) ↔ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y)))
14	13	anbi2d 618	. . . . . . 7 ⊢ (t = T → ((0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((t ‘w) − (t ‘x))) < y)) ↔ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y))))
15	14	rexbidv 1667	. . . . . 6 ⊢ (t = T → (∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((t ‘w) − (t ‘x))) < y)) ↔ ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y))))
16	15	imbi2d 614	. . . . 5 ⊢ (t = T → ((0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((t ‘w) − (t ‘x))) < y))) ↔ (0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y)))))
17	16	2ralbidv 1683	. . . 4 ⊢ (t = T → (∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℝ (0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((t ‘w) − (t ‘x))) < y))) ↔ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℝ (0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y)))))
18	6, 17	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (t = T → ((t: ℋ –→ℂ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℝ (0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((t ‘w) − (t ‘x))) < y)))) ↔ (T: ℋ –→ℂ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℝ (0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y))))))
19		df-cnfn 9768	. . 3 ⊢ ConFn = {t∣(t: ℋ –→ℂ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℝ (0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((t ‘w) − (t ‘x))) < y))))}
20	18, 19	elab2g 1903	. 2 ⊢ (T ∈ V → (T ∈ ConFn ↔ (T: ℋ –→ℂ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℝ (0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y))))))
21	1, 5, 20	pm5.21nii 681	1 ⊢ (T ∈ ConFn ↔ (T: ℋ –→ℂ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℝ (0 < y → ∃z ∈ ℝ (0 < z ⋀ ∀w ∈ ℋ ((normh ‘(w −h x)) < z → (abs ‘((T ‘w) − (T ‘x))) < y)))))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  ∃wrex 1649  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  –→wf 3184   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246   − cmin 5304   < clt 5498  abscabs 6751   ℋ chil 8783   −_h cmv 8787  norm_hcno 8789  ConFnccnf 8817

This theorem is referenced by:  cnfnct 9849  0cnfn 9899  lnfncon 9985

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-cnfn 9768

Copyright terms: Public domain