Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldioph4i 36856
Description: Forward-only version of eldioph4b 36855. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a 𝑊 ∈ V
eldioph4b.b ¬ 𝑊 ∈ Fin
eldioph4b.c (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
Assertion
Ref Expression
eldioph4i ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑤   𝑡,𝑁,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤

Proof of Theorem eldioph4i
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq1 3738 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑎 → (𝑡𝑤) = (𝑎𝑤))
21fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑎 → (𝑃‘(𝑡𝑤)) = (𝑃‘(𝑎𝑤)))
32eqeq1d 2623 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑎 → ((𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0))
43rexbidv 3045 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0))
5 uneq2 3739 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑏 → (𝑎𝑤) = (𝑎𝑏))
65fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑏 → (𝑃‘(𝑎𝑤)) = (𝑃‘(𝑎𝑏)))
76eqeq1d 2623 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
87cbvrexv 3160 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0)
94, 8syl6bb 276 . . . . 5 (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
109cbvrabv 3185 . . . 4 {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0}
11 fveq1 6147 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑎𝑏)) = (𝑃‘(𝑎𝑏)))
1211eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
1312rexbidv 3045 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
1413rabbidv 3177 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0})
1514eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → ({𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0} ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0}))
1615rspcev 3295 . . . 4 ((𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0}) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0})
1710, 16mpan2 706 . . 3 (𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0})
1817anim2i 592 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0}))
19 eldioph4b.a . . 3 𝑊 ∈ V
20 eldioph4b.b . . 3 ¬ 𝑊 ∈ Fin
21 eldioph4b.c . . 3 (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
2219, 20, 21eldioph4b 36855 . 2 ({𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0}))
2318, 22sylibr 224 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  cun 3553  cin 3554  c0 3891  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881  cn 10964  0cn0 11236  ...cfz 12268  mzPolycmzp 36765  Diophcdioph 36798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058  df-mzpcl 36766  df-mzp 36767  df-dioph 36799
This theorem is referenced by:  diophren  36857
  Copyright terms: Public domain W3C validator