Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldm1cossres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldm1cossres 34551
Description: Elementhood in the domain of restricted cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
eldm1cossres (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉

Proof of Theorem eldm1cossres
StepHypRef Expression
1 eldmcoss 34549 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝐵))
2 brresALTV 34374 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑢(𝑅𝐴)𝐵 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
32exbidv 1999 . . 3 (𝐵𝑉 → (∃𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
41, 3bitrd 268 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
5 df-rex 3056 . 2 (∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵))
64, 5syl6bbr 278 1 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wex 1853  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  cres 5268  ccoss 34314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-coss 34510
This theorem is referenced by:  eldm1cossres2  34552
  Copyright terms: Public domain W3C validator