MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elestrchom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elestrchom 16537
Description: A morphism between extensible structures is a function between their base sets. (Contributed by AV, 7-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
estrcbas.c 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcbas.u (𝜑𝑈𝑉)
estrchomfval.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
estrchom.x (𝜑𝑋𝑈)
estrchom.y (𝜑𝑌𝑈)
estrchom.a 𝐴 = (Base‘𝑋)
estrchom.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
elestrchom (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ↔ 𝐹:𝐴𝐵))

Proof of Theorem elestrchom
StepHypRef Expression
1 estrcbas.c . . . 4 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
2 estrcbas.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
3 estrchomfval.h . . . 4 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4 estrchom.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
5 estrchom.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
6 estrchom.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑋)
7 estrchom.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7estrchom 16536 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝐵𝑚 𝐴))
98eleq2d 2672 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴)))
10 fvex 6098 . . . . 5 (Base‘𝑌) ∈ V
117, 10eqeltri 2683 . . . 4 𝐵 ∈ V
1211a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
13 fvex 6098 . . . . 5 (Base‘𝑋) ∈ V
146, 13eqeltri 2683 . . . 4 𝐴 ∈ V
1514a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
16 elmapg 7734 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴𝐵))
1712, 15, 16syl2anc 690 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴𝐵))
189, 17bitrd 266 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ↔ 𝐹:𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  Basecbs 15641  Hom chom 15725  ExtStrCatcestrc 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-hom 15739  df-cco 15740  df-estrc 16532
This theorem is referenced by:  estrccatid  16541  fullsetcestrc  16575
  Copyright terms: Public domain W3C validator