Theorem elestrchom 17380

Description: A morphism between extensible structures is a function between their base sets. (Contributed by AV, 7-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrcbas.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
estrchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
estrchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
estrchom.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑋)
estrchom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
elestrchom	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))

Proof of Theorem elestrchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrcbas.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
2		estrcbas.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		estrchomfval.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4		estrchom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
5		estrchom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
6		estrchom.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑋)
7		estrchom.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	estrchom 17379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝐵 ↑m 𝐴))
9	8	eleq2d 2900	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)))
10	7	fvexi 6686	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
12	6	fvexi 6686	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
14	11, 13	elmapd 8422	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))
15	9, 14	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  Basecbs 16485  Hom chom 16578  ExtStrCatcestrc 17374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-hom 16591  df-cco 16592  df-estrc 17375

This theorem is referenced by:  estrccatid  17384  fullsetcestrc  17418