MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfi2 8264
Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfi2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem elfi2
StepHypRef Expression
1 elex 3198 . . 3 (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
21a1i 11 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V))
3 simpr 477 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
4 eldifsni 4289 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
6 intex 4780 . . . . . 6 (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑥 ∈ V)
75, 6sylib 208 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
83, 7eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
98rexlimiva 3021 . . 3 (∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥𝐴 ∈ V)
109a1i 11 . 2 (𝐵𝑉 → (∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥𝐴 ∈ V))
11 elfi 8263 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = 𝑥))
12 vprc 4756 . . . . . . . . . . 11 ¬ V ∈ V
13 elsni 4165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
1413inteqd 4445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
15 int0 4455 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = V
1614, 15syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = V)
1716eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {∅} → ( 𝑥 ∈ V ↔ V ∈ V))
1812, 17mtbiri 317 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {∅} → ¬ 𝑥 ∈ V)
19 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
20 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
2119, 20eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
2218, 21nsyl3 133 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {∅})
2322biantrud 528 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {∅})))
24 eldif 3565 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {∅}))
2523, 24syl6bbr 278 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})))
2625pm5.32da 672 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐴 = 𝑥𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ↔ (𝐴 = 𝑥𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
27 ancom 466 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = 𝑥) ↔ (𝐴 = 𝑥𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)))
28 ancom 466 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥) ↔ (𝐴 = 𝑥𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})))
2926, 27, 283bitr4g 303 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥)))
3029rexbidv2 3041 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥))
3111, 30bitrd 268 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥))
3231expcom 451 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥)))
332, 10, 32pm5.21ndd 369 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  cin 3554  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cint 4440  cfv 5847  Fincfn 7899  ficfi 8260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-fi 8261
This theorem is referenced by:  fifo  8282  firest  16014  alexsublem  21758  ispisys2  29997
  Copyright terms: Public domain W3C validator