MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfilss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfilss 21661
Description: An element belongs to a filter iff any element below it does. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfilss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐹 ↔ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑋   𝑡,𝐴

Proof of Theorem elfilss
StepHypRef Expression
1 ibar 525 . . 3 (𝐴𝑋 → (∃𝑡𝐹 𝑡𝐴 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴)))
21adantl 482 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∃𝑡𝐹 𝑡𝐴 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴)))
3 filfbas 21633 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4 elfg 21656 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴)))
65adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴)))
7 fgfil 21660 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = 𝐹)
87eleq2d 2685 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴𝐹))
98adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴𝐹))
102, 6, 93bitr2rd 297 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐹 ↔ ∃𝑡𝐹 𝑡𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1988  wrex 2910  wss 3567  cfv 5876  (class class class)co 6635  fBascfbas 19715  filGencfg 19716  Filcfil 21630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-fil 21631
This theorem is referenced by:  trfil3  21673
  Copyright terms: Public domain W3C validator