MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz1 12289
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 12286 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)})
21eleq2d 2684 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)}))
3 breq2 4627 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑀𝑗𝑀𝐾))
4 breq1 4626 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑗𝑁𝐾𝑁))
53, 4anbi12d 746 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑀𝑗𝑗𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
65elrab 3351 . . 3 (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
7 3anass 1040 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
86, 7bitr4i 267 . 2 (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑗𝑗𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁))
92, 8syl6bb 276 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2912   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cle 10035  cz 11337  ...cfz 12284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-neg 10229  df-z 11338  df-fz 12285
This theorem is referenced by:  elfz  12290  elfz2  12291  fzen  12316  fzaddel  12333  fzadd2  12334  elfzm11  12368  fznn0  12389  phicl2  15416  nndiffz1  29431  fzmul  33208  fz1eqin  36851  jm2.27dlem2  37096  iblspltprt  39526  itgspltprt  39532
  Copyright terms: Public domain W3C validator