MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz1b 12351
Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))

Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 12275 . 2 (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)))
2 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 0red 9985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
4 1red 9999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5 zre 11325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
63, 4, 53jca 1240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
76adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8 0lt1 10494 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 1)
10 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
11 ltletr 10073 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
1211imp 445 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
137, 9, 10, 12syl12anc 1321 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
14 elnnz 11331 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
152, 13, 14sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
1615ex 450 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
17163ad2ant3 1082 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1817com12 32 . . . . . 6 (1 ≤ 𝑁 → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
1918adantr 481 . . . . 5 ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
2019impcom 446 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
21 zre 11325 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 zre 11325 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2321, 5, 223anim123i 1245 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24233com23 1268 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25 letr 10075 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
27 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28 0red 9985 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29 1red 9999 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3022adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
318a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 1)
32 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
3328, 29, 30, 31, 32ltletrd 10141 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝑀)
34 elnnz 11331 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
3527, 33, 34sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
3635ex 450 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
37363ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
3826, 37syld 47 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
3938imp 445 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
40 simprr 795 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑁𝑀)
4120, 39, 403jca 1240 . . 3 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
42 1zzd 11352 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43 nnz 11343 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
44433ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
45 nnz 11343 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
46453ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4742, 44, 463jca 1240 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
48 nnge1 10990 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
49483ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑁)
50 simp3 1061 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁𝑀)
5147, 49, 50jca32 557 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)))
5241, 51impbii 199 . 2 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
531, 52bitri 264 1 (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  cz 11321  ...cfz 12268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-z 11322  df-fz 12269
This theorem is referenced by:  ubmelfzo  12473  cshwidxm  13491  cshwidxn  13492  gausslemma2dlem1a  24990  gausslemma2dlem2  24992  gausslemma2dlem4  24994  pmtrto1cl  29631  psgnfzto1stlem  29632  fzto1st  29635  psgnfzto1st  29637  poimirlem32  33070
  Copyright terms: Public domain W3C validator