MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz5 12284
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11649 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 eluzel2 11644 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2jca 554 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4 elfz 12282 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
543expa 1262 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
63, 5sylan 488 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
7 eluzle 11652 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
87biantrurd 529 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
98adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
106, 9bitr4d 271 1 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cle 10027  cz 11329  cuz 11639  ...cfz 12276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-neg 10221  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277
This theorem is referenced by:  fzsplit2  12316  fznn0sub2  12395  predfz  12413  bcval5  13053  hashf1  13187  seqcoll  13194  limsupgre  14154  isercolllem2  14338  isercoll  14340  fsumcvg3  14401  fsum0diaglem  14447  climcndslem2  14518  mertenslem1  14552  ncoprmlnprm  15371  pcfac  15538  prmreclem2  15556  prmreclem3  15557  prmreclem5  15559  1arith  15566  vdwlem1  15620  vdwlem3  15622  vdwlem10  15629  sylow1lem1  17945  psrbaglefi  19304  ovoliunlem1  23193  ovolicc2lem4  23211  uniioombllem3  23276  mbfi1fseqlem3  23407  iblcnlem1  23477  plyeq0lem  23887  coeeulem  23901  coeidlem  23914  coeid3  23917  coeeq2  23919  coemulhi  23931  vieta1lem2  23987  birthdaylem2  24596  birthdaylem3  24597  ftalem5  24720  basellem2  24725  basellem3  24726  basellem5  24728  musum  24834  fsumvma2  24856  chpchtsum  24861  lgsne0  24977  lgsquadlem2  25023  rplogsumlem2  25091  dchrisumlem1  25095  dchrisum0lem1  25122  ostth2lem3  25241  eupth2lems  26981  fzsplit3  29418  eulerpartlems  30227  eulerpartlemb  30235  erdszelem7  30922  cvmliftlem7  31016
  Copyright terms: Public domain W3C validator