Theorem elfzd 41676

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1124	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 518	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 12893	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150   ≤ cle 10670  ℤcz 11975  ...cfz 12886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-neg 10867  df-z 11976  df-fz 12887

This theorem is referenced by:  uzublem  41697  limsupubuzlem  41986