MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzel1 12299
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the lower bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzel1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 12296 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 11652 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-neg 10229  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285
This theorem is referenced by:  fzdisj  12326  fzrev2i  12363  fzrev3  12364  uznfz  12380  elfzmlbm  12406  bcp1nk  13060  fallfacval3  14687  fzmaxdif  37067  jm2.23  37082  monoords  39010  iblspltprt  39526  itgspltprt  39532  stoweidlem34  39588  iundjiun  40014  iccpartgt  40691  altgsumbcALT  41449
  Copyright terms: Public domain W3C validator