Theorem elfzle1 12913

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12907	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12259	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ≤ cle 10678  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-neg 10875  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  elfz1eq  12921  fzdisj  12937  elfznn  12939  ssfzunsnext  12955  fznatpl1  12964  fznn0sub2  13017  fz0fzdiffz0  13019  difelfznle  13024  seqf1olem1  13412  seqf1olem2  13413  bcval4  13670  seqcoll  13825  seqcoll2  13826  fsum0diaglem  15133  mertenslem1  15242  fprodntriv  15298  fallfacval4  15399  divalglem6  15751  hashdvds  16114  prmdiveq  16125  4sqlem11  16293  4sqlem12  16294  dvfsumlem3  24627  birthdaylem3  25533  ppiltx  25756  ppiub  25782  lgsdilem2  25911  lgsquadlem1  25958  chtppilimlem1  26051  dchrvmasumiflem1  26079  pntrlog2bndlem5  26159  pntpbnd1  26164  pntpbnd2  26165  pntlemh  26177  pntlemj  26181  ostth2lem2  26212  axlowdimlem16  26745  fzto1st1  30746  smattr  31066  smatbl  31067  smatbr  31068  ballotlem2  31748  ballotlemsdom  31771  ballotlemsima  31775  ballotlemfrcn0  31789  ballotlem1ri  31794  breprexplemc  31905  subfacp1lem1  32428  subfacp1lem5  32433  inffz  32963  poimirlem2  34896  poimirlem6  34900  poimirlem7  34901  poimirlem8  34902  poimirlem11  34905  poimirlem15  34909  poimirlem16  34910  poimirlem17  34911  poimirlem19  34913  poimirlem20  34914  poimirlem22  34916  poimirlem24  34918  poimirlem29  34923  poimirlem31  34925  poimirlem32  34926  mblfinlem2  34932  fdc  35022  irrapxlem3  39428  acongrep  39584  fzmaxdif  39585  acongeq  39587  jm2.23  39600  jm2.26lem3  39605  jm2.27dlem2  39614  monoords  41571  fmul01lt1lem1  41872  fmul01lt1lem2  41873  sumnnodd  41918  limsupubuzlem  42000  dvnmul  42235  dvnprodlem1  42238  dvnprodlem2  42239  iblspltprt  42265  itgspltprt  42271  stoweidlem3  42295  stoweidlem11  42303  stoweidlem20  42312  stoweidlem26  42318  stoweidlem34  42326  wallispi2  42365  dirkeritg  42394  fourierdlem11  42410  fourierdlem12  42411  fourierdlem15  42414  fourierdlem41  42440  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem50  42448  fourierdlem52  42450  fourierdlem54  42452  fourierdlem79  42477  fourierdlem102  42500  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierdlem114  42512  elaa2lem  42525  etransclem3  42529  etransclem4  42530  etransclem7  42533  etransclem10  42536  etransclem23  42549  etransclem24  42550  etransclem31  42557  etransclem32  42558  etransclem35  42561  etransclem41  42567  etransclem46  42572  caratheodorylem1  42815  iccpartgt  43594