MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzle1 12294
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 12288 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzle 11652 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cle 10027  cuz 11639  ...cfz 12276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-neg 10221  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277
This theorem is referenced by:  elfz1eq  12302  fzdisj  12318  elfznn  12320  ssfzunsnext  12336  fznatpl1  12345  fznn0sub2  12395  fz0fzdiffz0  12397  difelfznle  12402  seqf1olem1  12788  seqf1olem2  12789  bcval4  13042  seqcoll  13194  seqcoll2  13195  fsum0diaglem  14447  mertenslem1  14552  fprodntriv  14608  fallfacval4  14710  divalglem6  15056  hashdvds  15415  prmdiveq  15426  4sqlem11  15594  4sqlem12  15595  dvfsumlem3  23712  birthdaylem3  24597  ppiltx  24820  ppiub  24846  lgsdilem2  24975  lgsquadlem1  25022  chtppilimlem1  25079  dchrvmasumiflem1  25107  pntrlog2bndlem5  25187  pntpbnd1  25192  pntpbnd2  25193  pntlemh  25205  pntlemj  25209  ostth2lem2  25240  axlowdimlem16  25754  fzto1st1  29661  smattr  29671  smatbl  29672  smatbr  29673  ballotlem2  30355  ballotlemsdom  30378  ballotlemsima  30382  ballotlemfrcn0  30396  ballotlem1ri  30401  subfacp1lem1  30904  subfacp1lem5  30909  inffz  31357  inffzOLD  31358  poimirlem2  33078  poimirlem6  33082  poimirlem7  33083  poimirlem8  33084  poimirlem11  33087  poimirlem15  33091  poimirlem16  33092  poimirlem17  33093  poimirlem19  33095  poimirlem20  33096  poimirlem22  33098  poimirlem24  33100  poimirlem29  33105  poimirlem31  33107  poimirlem32  33108  mblfinlem2  33114  fdc  33208  irrapxlem3  36903  acongrep  37062  fzmaxdif  37063  acongeq  37065  jm2.23  37078  jm2.26lem3  37083  jm2.27dlem2  37092  monoords  39006  fmul01lt1lem1  39248  fmul01lt1lem2  39249  sumnnodd  39294  limsupubuzlem  39376  dvnmul  39491  dvnprodlem1  39494  dvnprodlem2  39495  iblspltprt  39522  itgspltprt  39528  stoweidlem3  39553  stoweidlem11  39561  stoweidlem20  39570  stoweidlem26  39576  stoweidlem34  39584  wallispi2  39623  dirkeritg  39652  fourierdlem11  39668  fourierdlem12  39669  fourierdlem15  39672  fourierdlem41  39698  fourierdlem48  39704  fourierdlem49  39705  fourierdlem50  39706  fourierdlem52  39708  fourierdlem54  39710  fourierdlem79  39735  fourierdlem102  39758  fourierdlem103  39759  fourierdlem104  39760  fourierdlem114  39770  elaa2lem  39783  etransclem3  39787  etransclem4  39788  etransclem7  39791  etransclem10  39794  etransclem23  39807  etransclem24  39808  etransclem31  39815  etransclem32  39816  etransclem35  39819  etransclem41  39825  etransclem46  39830  caratheodorylem1  40073  iccpartgt  40687
  Copyright terms: Public domain W3C validator