MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznelfzob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfznelfzob 12395
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if and only if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzob (𝑦 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))

Proof of Theorem elfznelfzob
StepHypRef Expression
1 elfznelfzo 12394 . . 3 ((𝑦 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾))
21ex 448 . 2 (𝑦 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
3 elfzole1 12302 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → 1 ≤ 𝑦)
4 elfzolt2 12303 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → 𝑦 < 𝐾)
5 elfzoel2 12293 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6 elfzoelz 12294 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → 𝑦 ∈ ℤ)
7 0lt1 10399 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
8 breq1 4580 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (𝑦 < 1 ↔ 0 < 1))
97, 8mpbiri 246 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → 𝑦 < 1)
10 zre 11214 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
1110adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
12 1red 9911 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12ltnled 10035 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝑦))
149, 13syl5ib 232 . . . . . . . . 9 (((𝑦 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 = 0 → ¬ 1 ≤ 𝑦))
1514con2d 127 . . . . . . . 8 (((𝑦 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑦 → ¬ 𝑦 = 0))
16 zre 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
17 ltlen 9989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝐾 ↔ (𝑦𝐾𝐾𝑦)))
1810, 16, 17syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝐾 ↔ (𝑦𝐾𝐾𝑦)))
19 necom 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝑦𝑦𝐾)
20 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐾 ↔ ¬ 𝑦 = 𝐾)
2119, 20sylbb 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾𝑦 → ¬ 𝑦 = 𝐾)
2221adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐾𝐾𝑦) → ¬ 𝑦 = 𝐾)
2318, 22syl6bi 241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝐾 → ¬ 𝑦 = 𝐾))
2423ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 < 𝐾 → ¬ 𝑦 = 𝐾)))
2524com23 83 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑦 < 𝐾 → (𝑦 ∈ ℤ → ¬ 𝑦 = 𝐾)))
2625impcom 444 . . . . . . . . 9 ((𝑦 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℤ → ¬ 𝑦 = 𝐾))
2726imp 443 . . . . . . . 8 (((𝑦 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ¬ 𝑦 = 𝐾)
2815, 27jctird 564 . . . . . . 7 (((𝑦 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑦 → (¬ 𝑦 = 0 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾)))
294, 5, 6, 28syl21anc 1316 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → (1 ≤ 𝑦 → (¬ 𝑦 = 0 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾)))
303, 29mpd 15 . . . . 5 (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → (¬ 𝑦 = 0 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾))
31 ioran 509 . . . . 5 (¬ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑦 = 0 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾))
3230, 31sylibr 222 . . . 4 (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾))
3332a1i 11 . . 3 (𝑦 ∈ (0...𝐾) → (𝑦 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
3433con2d 127 . 2 (𝑦 ∈ (0...𝐾) → ((𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾) → ¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾)))
352, 34impbid 200 1 (𝑦 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑦 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 = 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  cz 11210  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator