MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzo2 13029
Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))

Proof of Theorem elfzo2
StepHypRef Expression
1 an4 652 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
2 df-3an 1081 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32anbi1i 623 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
4 eluz2 12237 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
5 3ancoma 1090 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
6 df-3an 1081 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾))
74, 5, 63bitri 298 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾))
87anbi1i 623 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)) ↔ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
91, 3, 83bitr4i 304 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
10 elfzoelz 13026 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 elfzoel1 13024 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12 elfzoel2 13025 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1310, 11, 123jca 1120 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14 elfzo 13028 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
1513, 14biadanii 818 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
16 3anass 1087 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
179, 15, 163bitr4i 304 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145   < clt 10663  cle 10664  cz 11969  cuz 12231  ..^cfzo 13021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022
This theorem is referenced by:  elfzouz  13030  fzolb  13032  elfzo3  13042  fzouzsplit  13060  prinfzo0  13064  elfzo0  13066  elfzo1  13075  fzo1fzo0n0  13076  eluzgtdifelfzo  13087  ssfzo12bi  13120  elfzonelfzo  13127  elfzomelpfzo  13129  modaddmodup  13290  ccatrn  13931  cshwidxmod  14153  cats1fv  14209  bitsfzolem  15771  bitsfzo  15772  bitsmod  15773  bitsfi  15774  bitsinv1lem  15778  bitsinv1  15779  modprm0  16130  prmgaplem5  16379  prmgaplem6  16380  prmgaplem7  16381  lt6abl  18944  iundisj2  24077  dchrisum0flblem2  26012  crctcshwlkn0lem5  27519  iundisj2f  30268  iundisj2fi  30446  frlmvscadiccat  39023  ssinc  41230  ssdec  41231  elfzfzo  41418  monoords  41440  elfzod  41549  iblspltprt  42134  itgspltprt  42140  fourierdlem20  42289  fourierdlem25  42294  fourierdlem41  42310  fourierdlem48  42316  fourierdlem49  42317  fourierdlem50  42318  fourierdlem79  42347  iundjiunlem  42618  subsubelfzo0  43403  fzoopth  43404  iccpartiltu  43459  iccpartigtl  43460  iccpartgt  43464  wtgoldbnnsum4prm  43844  bgoldbnnsum3prm  43846  bgoldbtbndlem3  43849  bgoldbtbndlem4  43850  elfzolborelfzop1  44502  m1modmmod  44509  fllog2  44556  nnolog2flm1  44578
  Copyright terms: Public domain W3C validator