Theorem elfzodifsumelfzo 13106

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13001	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		elfz2nn0 13001	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃))
3		elfzo0 13081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)))
4		nn0z 12008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		nn0z 12008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		znnsub 12031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
7	4, 5, 6	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
8		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 11935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
11	8, 9, 10	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12	11	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
13		0red 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14		nn0re 11909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
16		nn0re 11909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	13, 15, 17	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
19	18	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
20		nn0ge0 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
22	21	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))
23		lelttr 10733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
24	19, 22, 23	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
25	24	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
26		0red 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
27	16	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		nn0re 11909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℝ)
29	28	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
30		ltletr 10734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 0 < 𝑃))
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 0 < 𝑃))
32		nn0z 12008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℤ)
33		elnnz 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
34	33	simplbi2 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
35	32, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
36	35	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
37	31, 36	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
38	37	exp4b 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))))
39	38	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 𝑃 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℕ))))
40	39	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℕ)))
41	40	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
42	41	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
43	25, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
44	43	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
45	44	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
46	45	imp 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47		nn0re 11909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
48	47	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
49	15	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
50		readdcl 10622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
51	48, 49, 50	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
52	51	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
53	17	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
55	54	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
56	28	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
57	52, 55, 56	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
58	57	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
59	47	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
60	15	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
61	17	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
62	59, 60, 61	ltaddsubd 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ↔ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)))
63	62	exbiri 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
64	63	impcomd 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
65	64	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
66	65	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
67	66	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
68	67	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃))
69		ltletr 10734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
70	58, 68, 69	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
71	70	anasss 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
72		elfzo0 13081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃) ↔ ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
73	12, 46, 71, 72	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))
74	73	exp53 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
75	7, 74	sylbird 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
76	75	3adant3 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
77	76	com14 96	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
78	77	3imp 1107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
79	3, 78	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
80	79	com13 88	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
81	80	3adant1 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
82	2, 81	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
83	82	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
84	1, 83	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
85	84	imp 409	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539   + caddc 10542   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  13107  swrdwrdsymb  14026  swrdco  14201