MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoel1 12295
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel1
StepHypRef Expression
1 ne0i 3880 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2 fzof 12294 . . . . . 6 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
32fdmi 5951 . . . . 5 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
43ndmov 6694 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
54necon1ai 2809 . . 3 ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
61, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
76simpld 474 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wne 2780  c0 3874  𝒫 cpw 4108   × cxp 5026  (class class class)co 6527  cz 11213  ..^cfzo 12292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-neg 10121  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293
This theorem is referenced by:  elfzoelz  12297  elfzo2  12300  elfzole1  12305  elfzolt2  12306  elfzolt3  12307  elfzolt3b  12309  fzospliti  12327  fzoaddel  12346  elincfzoext  12351  fzosubel  12352  fzosubel3  12354  fzofzp1  12389  fzostep1  12404  fzomaxdiflem  13879  fzocongeq  14833  caratheodorylem1  39210
  Copyright terms: Public domain W3C validator