MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoelz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoelz 12509
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoelz (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 12507 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2 elfzoel2 12508 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3 fzof 12506 . . . . 5 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
43fovcl 6807 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
51, 2, 4syl2anc 694 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
65elpwid 4203 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7 id 22 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
86, 7sseldd 3637 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  𝒫 cpw 4191  (class class class)co 6690  cz 11415  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  elfzo2  12512  elfzole1  12517  elfzolt2  12518  elfzolt3  12519  elfzolt2b  12520  elfzouz2  12523  fzonnsub  12532  fzospliti  12539  fzodisj  12541  fzodisjsn  12545  fzonmapblen  12553  fzoaddel  12560  elincfzoext  12565  fzosubel  12566  elfzom1elp1fzo1  12608  elfzo1elm1fzo0  12609  elfznelfzob  12614  modaddmodup  12773  modaddmodlo  12774  modfzo0difsn  12782  modsumfzodifsn  12783  addmodlteq  12785  wrdexg  13347  ccatval3  13397  ccatlid  13404  ccatass  13406  ccatrn  13407  ccatalpha  13411  swrd0val  13466  swrdfv0  13470  swrdid  13474  swrd0fv  13485  swrdfv2  13492  swrds1  13497  ccatswrd  13502  swrdswrd  13506  swrdccatin12lem2a  13531  swrdccatin2  13533  swrdccatin12lem2  13535  splfv1  13552  splfv2a  13553  revccat  13561  revrev  13562  repswrevw  13579  cshwidxmod  13595  cshwidxmodr  13596  cshwidx0  13598  cshwidxm1  13599  cshweqrep  13613  cshw1  13614  cshimadifsn  13621  cshimadifsn0  13622  cshco  13628  fzomaxdiflem  14126  fzomaxdif  14127  fzo0dvdseq  15092  fzocongeq  15093  addmodlteqALT  15094  crth  15530  phimullem  15531  eulerthlem1  15533  eulerthlem2  15534  hashgcdlem  15540  hashgcdeq  15541  phisum  15542  reumodprminv  15556  modprm0  15557  nnnn0modprm0  15558  modprmn0modprm0  15559  prmgaplem7  15808  cshwshashlem2  15850  cshwshashlem3  15851  cshwrepswhash1  15856  psgnunilem5  17960  odf1o2  18034  odngen  18038  efgsp1  18196  efgsres  18197  znf1o  19948  zntoslem  19953  znunithash  19961  dvfsumle  23829  dvfsumabs  23831  dchrisumlem1  25223  dchrisumlem2  25224  dchrisum  25226  pntlemq  25335  pntlemr  25336  pntlemj  25337  pntlemi  25338  pntlemf  25339  wlk1walk  26591  pthdadjvtx  26682  crctcshwlkn0lem3  26760  crctcshwlkn0lem4  26761  crctcshwlkn0lem5  26762  crctcshwlkn0lem6  26763  crctcshlem2  26766  crctcshwlkn0  26769  crctcshtrl  26771  crctcsh  26772  clwwisshclwwslem  26971  clwwisshclwws  26972  eucrctshift  27221  eucrct2eupth  27223  clwwlkccatlem  27331  signsvfn  30787  poimirlem8  33547  poimirlem18  33557  poimirlem21  33560  poimirlem22  33561  poimirlem24  33563  elfzop1le2  39816  iblspltprt  40507  itgspltprt  40513  stoweidlem3  40538  fourierdlem12  40654  fourierdlem20  40662  fourierdlem46  40687  fourierdlem50  40691  fourierdlem54  40695  fourierdlem63  40704  fourierdlem64  40705  fourierdlem65  40706  fourierdlem76  40717  fourierdlem79  40720  fourierdlem102  40743  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem114  40755  iundjiun  40995  carageniuncllem1  41056  caratheodorylem1  41061  iccpartipre  41682  iccpartiltu  41683  iccpartigtl  41684  iccpartgt  41688  icceuelpartlem  41696  icceuelpart  41697  iccpartnel  41699  fargshiftf1  41702  pfxfv  41724  ccatpfx  41734  pfxccatin12lem2  41749  pwdif  41826  pwm1geoserALT  41827  bgoldbtbndlem2  42019  m1modmmod  42641  fllog2  42687  nn0sumshdiglemA  42738  nn0sumshdiglemB  42739  nn0mullong  42744
  Copyright terms: Public domain W3C validator