MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoelz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoelz 12294
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoelz (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 12292 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2 elfzoel2 12293 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3 fzof 12291 . . . . 5 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
43fovcl 6641 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
51, 2, 4syl2anc 690 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
65elpwid 4117 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7 id 22 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
86, 7sseldd 3568 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  𝒫 cpw 4107  (class class class)co 6527  cz 11210  ..^cfzo 12289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-neg 10120  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290
This theorem is referenced by:  elfzo2  12297  elfzole1  12302  elfzolt2  12303  elfzolt3  12304  elfzolt2b  12305  elfzouz2  12308  fzonnsub  12317  fzospliti  12324  fzodisj  12326  fzodisjsn  12329  fzonmapblen  12336  fzoaddel  12343  elincfzoext  12348  fzosubel  12349  elfzom1elp1fzo1  12389  elfzo1elm1fzo0  12390  elfznelfzob  12395  modaddmodup  12550  modaddmodlo  12551  modfzo0difsn  12559  modsumfzodifsn  12560  addmodlteq  12562  wrdexg  13116  ccatval3  13162  ccatlid  13168  ccatass  13170  ccatrn  13171  ccatalpha  13174  swrd0val  13219  swrdid  13226  swrd0fv  13237  swrdfv2  13244  swrds1  13249  ccatswrd  13254  swrdswrd  13258  swrdccatin12lem2a  13282  swrdccatin2  13284  swrdccatin12lem2  13286  splfv1  13303  splfv2a  13304  revccat  13312  revrev  13313  repswrevw  13330  cshwidxmod  13346  cshwidxmodr  13347  cshwidx0  13349  cshwidxm1  13350  cshweqrep  13364  cshw1  13365  cshimadifsn  13372  cshimadifsn0  13373  cshco  13379  fzomaxdiflem  13876  fzomaxdif  13877  fzo0dvdseq  14829  fzocongeq  14830  addmodlteqALT  14831  crth  15267  phimullem  15268  eulerthlem1  15270  eulerthlem2  15271  hashgcdlem  15277  hashgcdeq  15278  phisum  15279  reumodprminv  15293  modprm0  15294  nnnn0modprm0  15295  modprmn0modprm0  15296  prmgaplem7  15545  cshwshashlem2  15587  cshwshashlem3  15588  cshwrepswhash1  15593  psgnunilem5  17683  odf1o2  17757  odngen  17761  efgsp1  17919  efgsres  17920  znf1o  19664  zntoslem  19669  znunithash  19677  dvfsumle  23505  dvfsumabs  23507  dchrisumlem1  24895  dchrisumlem2  24896  dchrisum  24898  pntlemq  25007  pntlemr  25008  pntlemj  25009  pntlemi  25010  pntlemf  25011  wlkdvspthlem  25903  fargshiftf1  25931  clwwisshclwwlem  26100  clwwisshclww  26101  eupatrl  26261  signsvfn  29791  poimirlem8  32383  poimirlem18  32393  poimirlem21  32396  poimirlem22  32397  poimirlem24  32399  elfzop1le2  38239  iblspltprt  38662  itgspltprt  38668  stoweidlem3  38693  fourierdlem12  38809  fourierdlem20  38817  fourierdlem46  38842  fourierdlem50  38846  fourierdlem54  38850  fourierdlem63  38859  fourierdlem64  38860  fourierdlem65  38861  fourierdlem76  38872  fourierdlem79  38875  fourierdlem102  38898  fourierdlem103  38899  fourierdlem104  38900  fourierdlem114  38910  iundjiun  39150  carageniuncllem1  39208  caratheodorylem1  39213  iccpartipre  39757  iccpartiltu  39758  iccpartigtl  39759  iccpartgt  39763  icceuelpartlem  39771  icceuelpart  39772  iccpartnel  39774  pwdif  39837  pwm1geoserALT  39838  bgoldbtbndlem2  40020  pfxfv  40060  ccatpfx  40070  pfxccatin12lem2  40085  1wlk1walk  40838  pthdadjvtx  40931  crctcsh1wlkn0lem3  41010  crctcsh1wlkn0lem4  41011  crctcsh1wlkn0lem5  41012  crctcsh1wlkn0lem6  41013  crctcshlem2  41016  crctcsh1wlkn0  41019  crctcshtrl  41021  crctcsh  41022  clwwisshclwwslem  41229  clwwisshclwws  41230  eucrctshift  41406  eucrct2eupth  41408  m1modmmod  42105  fllog2  42155  nn0sumshdiglemA  42206  nn0sumshdiglemB  42207  nn0mullong  42212
  Copyright terms: Public domain W3C validator