Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzom1p1elfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzom1p1elfzo 12587
 Description: Increasing an element of a half-open range of nonnegative integers by 1 results in an element of the half-open range of nonnegative integers with an upper bound increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1p1elfzo ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzom1p1elfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 12548 . . 3 (𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)))
2 peano2nn0 11371 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
323ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
43adantr 480 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) ∈ ℕ0)
5 simpr 476 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 nn0re 11339 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
9 nnre 11065 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
117, 8, 10ltaddsubd 10665 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 + 1) < 𝑁𝑋 < (𝑁 − 1)))
1211biimprd 238 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 < (𝑁 − 1) → (𝑋 + 1) < 𝑁))
1312impancom 455 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) < 𝑁))
14133adant2 1100 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) < 𝑁))
1514imp 444 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) < 𝑁)
16 elfzo0 12548 . . . . 5 ((𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑋 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 + 1) < 𝑁))
174, 5, 15, 16syl3anbrc 1265 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))
1817ex 449 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
191, 18sylbi 207 . 2 (𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
2019impcom 445 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑋 + 1) ∈ (0..^𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ..^cfzo 12504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505 This theorem is referenced by:  wwlksm1edg  26835  clwwisshclwwslem  26971  clwwlkel  27009
 Copyright terms: Public domain W3C validator