MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzonelfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzonelfzo 13127
Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzonelfzo (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))

Proof of Theorem elfzonelfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo2 13029 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
2 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzelz 12241 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
433ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → 𝐾 ∈ ℤ)
54ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6 eluzelre 12242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
7 zre 11973 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8 ltnle 10708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐾))
96, 7, 8syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐾))
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
11103expa 1110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
12 elfzo2 13029 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
1311, 12sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
1413ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)))
159, 14sylbird 261 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁𝐾𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)))
1615con1d 147 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁𝐾))
1716ex 413 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁𝐾)))
1817com23 86 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝐾)))
19183ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝐾)))
2019imp31 418 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁𝐾)
21 eluz2 12237 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾))
222, 5, 20, 21syl3anbrc 1335 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
23 simpll2 1205 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
24 simpll3 1206 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 < 𝑅)
25 elfzo2 13029 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
2622, 23, 24, 25syl3anbrc 1335 . . . 4 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅))
2726ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
281, 27sylanb 581 . 2 ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
2928com12 32 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524   < clt 10663  cle 10664  cz 11969  cuz 12231  ..^cfzo 13021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022
This theorem is referenced by:  fzonfzoufzol  13128  pfxccatin12lem4  14076  pfxccatin12lem2a  14077  pfxccatin12lem1  14078  fourierdlem20  42289
  Copyright terms: Public domain W3C validator