Theorem elfzonn0 13085

Description: A member of a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonn0	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfzonn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 13045	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
2		elnn0uz 12286	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
3	1, 2	sylibr 236	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246  ..^cfzo 13036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037

This theorem is referenced by:  fzo0ssnn0  13121  modsumfzodifsn  13315  resunimafz0  13806  ccatrn  13946  pfxmpt  14043  pfxsuffeqwrdeq  14063  swrdccatin1  14090  swrdccatin2  14094  splfv2a  14121  repswswrd  14149  pwdif  15226  pwm1geoser  15227  fzo0dvdseq  15676  smueqlem  15842  hashgcdlem  16128  cshwsidrepsw  16430  smndex1gbas  18070  smndex1igid  18072  advlogexp  25241  upgrwlkdvdelem  27520  crctcshwlkn0lem2  27592  crctcshwlkn0lem4  27594  crctcshwlkn0  27602  crctcsh  27605  clwwlkel  27828  clwwlknonex2lem2  27890  eucrctshift  28025  cycpmco2lem4  30775  cycpmco2lem5  30776  cycpmco2lem6  30777  cycpmco2lem7  30778  cycpmco2  30779  signsplypnf  31824  poimirlem5  34901  poimirlem6  34902  poimirlem7  34903  poimirlem10  34906  poimirlem11  34907  poimirlem12  34908  poimirlem16  34912  poimirlem17  34913  poimirlem19  34915  poimirlem20  34916  poimirlem22  34918  poimirlem23  34919  poimirlem25  34921  poimirlem29  34925  poimirlem30  34926  poimirlem31  34927  frlmvscadiccat  39151  fltnltalem  39280  dvnmul  42234  fourierdlem48  42446  2pwp1prm  43758  nnpw2pb  44654  nn0sumshdiglemA  44686  nn0sumshdiglemB  44687  nn0mullong  44692