MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzuz2 12296
Description: Implication of membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem elfzuz2
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 12286 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
2 eqid 2621 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
32uztrn2 11657 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
41, 3sylbi 207 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  cuz 11639  ...cfz 12276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-neg 10221  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277
This theorem is referenced by:  elfzle3  12297  elfzubelfz  12303  fzn0  12305  fzopth  12328  elfzmlbm  12398  elfzom1elp1fzo  12483  elfzr  12529  elfzlmr  12530  bcm1k  13050  bcpasc  13056  seqcoll  13194  swrdccatin12lem2c  13433  swrdccatin12  13436  splid  13449  spllen  13450  prmodvdslcmf  15686  gexcl3  17934  dvn2bss  23616  pserdvlem2  24103  ppinprm  24795  chtnprm  24797  chpval2  24860  chpchtsum  24861  lgsdir2lem2  24968  fzto1stfv1  29660  fzto1stinvn  29663  wrdsplex  30422  monoords  39006  pfxccatin12  40750
  Copyright terms: Public domain W3C validator