Theorem elfzuz3 12281

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 12278	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 480	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℤ_≥cuz 11631  ...cfz 12268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-neg 10213  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269

This theorem is referenced by:  elfzel2  12282  elfzle2  12287  peano2fzr  12296  fzsplit2  12308  fzsplit  12309  fznn0sub  12315  fzopth  12320  fzss1  12322  fzss2  12323  fzp1elp1  12336  predfz  12405  fzosplit  12442  fzoend  12500  fzofzp1b  12507  uzindi  12721  seqcl2  12759  seqfveq2  12763  monoord  12771  sermono  12773  seqsplit  12774  seqf1olem2  12781  seqid2  12787  seqhomo  12788  seqz  12789  bcval5  13045  seqcoll  13186  seqcoll2  13187  swrdval2  13358  swrd0val  13359  swrd0len  13360  spllen  13442  splfv2a  13444  fsum0diag2  14443  climcndslem2  14507  prodfn0  14551  lcmflefac  15285  pcbc  15528  vdwlem2  15610  vdwlem5  15613  vdwlem6  15614  vdwlem8  15616  prmgaplem1  15677  psgnunilem5  17835  efgsres  18072  efgredleme  18077  efgcpbllemb  18089  imasdsf1olem  22088  volsup  23231  dvn2bss  23599  dvtaylp  24028  wilth  24697  ftalem1  24699  ppisval2  24731  dvdsppwf1o  24812  logfaclbnd  24847  bposlem6  24914  wlkres  26436  fzsplit3  29391  ballotlemsima  30355  ballotlemfrc  30366  ballotlemfrceq  30368  fzssfzo  30391  wrdres  30394  signstres  30429  erdszelem7  30884  erdszelem8  30885  poimirlem1  33039  poimirlem2  33040  poimirlem3  33041  poimirlem4  33042  poimirlem7  33045  poimirlem12  33050  poimirlem15  33053  poimirlem16  33054  poimirlem17  33055  poimirlem19  33057  poimirlem20  33058  poimirlem23  33061  poimirlem24  33062  poimirlem25  33063  poimirlem29  33067  poimirlem31  33069  mettrifi  33182  bcc0  38018  iunincfi  38754  fmulcl  39214  fmul01lt1lem2  39218  dvnprodlem2  39465  stoweidlem11  39532  stoweidlem17  39538  fourierdlem15  39643  ssfz12  40618  smonoord  40636  pfxres  40684  pfxf  40685  repswpfx  40732