Theorem elicc2i 12181

Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicc2i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elicc2i.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
elicc2i	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem elicc2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc2i.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elicc2i.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		elicc2 12180	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 707	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  ℝcr 9879   ≤ cle 10019  [,]cicc 12120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-icc 12124

This theorem is referenced by:  0elunit  12232  1elunit  12233  divelunit  12256  lincmb01cmp  12257  iccf1o  12258  sinbnd2  14837  cosbnd2  14838  rpnnen2lem12  14879  blcvx  22509  iirev  22636  iihalf1  22638  iihalf2  22640  elii1  22642  elii2  22643  iimulcl  22644  iccpnfhmeo  22652  xrhmeo  22653  oprpiece1res2  22659  lebnumii  22673  htpycc  22687  pco0  22722  pcoval2  22724  pcocn  22725  pcohtpylem  22727  pcopt  22730  pcopt2  22731  pcoass  22732  pcorevlem  22734  vitalilem2  23284  vitali  23288  abelth2  24100  coseq00topi  24158  coseq0negpitopi  24159  sinq12ge0  24164  cosq14ge0  24167  cosordlem  24181  cosord  24182  cos11  24183  sinord  24184  recosf1o  24185  resinf1o  24186  efif1olem3  24194  argregt0  24260  argrege0  24261  argimgt0  24262  logimul  24264  cxpsqrtlem  24348  chordthmlem4  24462  acosbnd  24527  leibpi  24569  log2ub  24576  jensenlem2  24614  emcllem7  24628  emgt0  24633  harmonicbnd3  24634  harmoniclbnd  24635  harmonicubnd  24636  harmonicbnd4  24637  lgamgulmlem2  24656  logdivbnd  25145  pntpbnd2  25176  ttgcontlem1  25665  brbtwn2  25685  ax5seglem1  25708  ax5seglem2  25709  ax5seglem3  25711  ax5seglem5  25713  ax5seglem6  25714  ax5seglem9  25717  ax5seg  25718  axbtwnid  25719  axpaschlem  25720  axpasch  25721  axcontlem2  25745  axcontlem4  25747  axcontlem7  25750  stge0  28929  stle1  28930  strlem3a  28957  elunitrn  29722  elunitge0  29724  unitdivcld  29726  xrge0iifiso  29760  xrge0iifhom  29762  resconn  30933  snmlff  31016  sin2h  33028  cos2h  33029  poimirlem29  33067  poimirlem30  33068  poimirlem31  33069  poimirlem32  33070  lhe4.4ex1a  38007  fourierdlem40  39668  fourierdlem62  39689  fourierdlem78  39705  fourierdlem111  39738  sqwvfoura  39749  sqwvfourb  39750