Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elicc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc3 32588
Description: An equivalent membership condition for closed intervals. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
elicc3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))

Proof of Theorem elicc3
StepHypRef Expression
1 elicc1 12383 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
2 simp1 1128 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
32a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*))
4 xrletr 12153 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐵))
54exp5o 1434 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐶 → (𝐶𝐵𝐴𝐵)))))
65com23 86 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐶 → (𝐶𝐵𝐴𝐵)))))
76imp5q 32583 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐵))
8 df-ne 2921 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐴)
9 xrleltne 12142 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐴 < 𝐶𝐶𝐴))
109biimprd 238 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐶𝐴𝐴 < 𝐶))
118, 10syl5bir 233 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
12113adant3r3 1176 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
1312adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
14 eqcom 2755 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = 𝐵𝐵 = 𝐶)
1514necon3bbii 2967 . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = 𝐵𝐵𝐶)
16 xrleltne 12142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐶 < 𝐵𝐵𝐶))
1716biimprd 238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐵𝐶𝐶 < 𝐵))
1815, 17syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
19183exp 1112 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶𝐵 → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))))
2019com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶𝐵 → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))))
2120imp32 448 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
22213adantr2 1156 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2322adantll 752 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2413, 23anim12d 587 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → ((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2524ex 449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → ((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
26 df-or 384 . . . . . 6 ((𝐶 = 𝐴 ∨ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
27 3orass 1075 . . . . . 6 ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
28 pm5.6 989 . . . . . . 7 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
29 orcom 401 . . . . . . . 8 ((𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3029imbi2i 325 . . . . . . 7 ((¬ 𝐶 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
3128, 30bitri 264 . . . . . 6 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
3226, 27, 313bitr4ri 293 . . . . 5 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3325, 32syl6ib 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
343, 7, 333jcad 1404 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
35 simp1 1128 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3635a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*))
37 xrleid 12147 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
3837ad3antrrr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
39 breq2 4796 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (𝐴𝐶𝐴𝐴))
4038, 39syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐴𝐶))
41 xrltle 12146 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4241adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4342adantllr 757 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4443adantrd 485 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐶))
45 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
46 breq2 4796 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐵 → (𝐴𝐶𝐴𝐵))
4745, 46syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐵𝐴𝐶))
4840, 44, 473jaod 1529 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴𝐶))
4948exp31 631 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴𝐶))))
50493impd 1429 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐴𝐶))
51 breq1 4795 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (𝐶𝐵𝐴𝐵))
5245, 51syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐶𝐵))
53 xrltle 12146 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵𝐶𝐵))
5453ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵𝐶𝐵))
5554adantld 484 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
5655adantll 752 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
5756adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
58 xrleid 12147 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
5958ad3antlr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
60 breq1 4795 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐵 → (𝐶𝐵𝐵𝐵))
6159, 60syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐵𝐶𝐵))
6252, 57, 613jaod 1529 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶𝐵))
6362exp31 631 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶𝐵))))
64633impd 1429 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶𝐵))
6536, 50, 643jcad 1404 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
6634, 65impbid 202 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
671, 66bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  [,]cicc 12342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-icc 12346
This theorem is referenced by:  ivthALT  32607
  Copyright terms: Public domain W3C validator