Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elicc3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc3 31950
Description: An equivalent membership condition for closed intervals. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
elicc3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))

Proof of Theorem elicc3
StepHypRef Expression
1 elicc1 12161 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
2 simp1 1059 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
32a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*))
4 xrletr 11933 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐵))
54exp5o 1283 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴𝐶 → (𝐶𝐵𝐴𝐵)))))
65com23 86 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐶 → (𝐶𝐵𝐴𝐵)))))
76imp5q 31945 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → 𝐴𝐵))
8 df-ne 2791 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐴)
9 xrleltne 11922 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐴 < 𝐶𝐶𝐴))
109biimprd 238 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (𝐶𝐴𝐴 < 𝐶))
118, 10syl5bir 233 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
12113adant3r3 1273 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
1312adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐴𝐴 < 𝐶))
14 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 = 𝐵𝐵 = 𝐶)
1514necon3bbii 2837 . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = 𝐵𝐵𝐶)
16 xrleltne 11922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐶 < 𝐵𝐵𝐶))
1716biimprd 238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (𝐵𝐶𝐶 < 𝐵))
1815, 17syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶𝐵) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
19183exp 1261 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶𝐵 → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))))
2019com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶𝐵 → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))))
2120imp32 449 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
22213adantr2 1219 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2322adantll 749 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (¬ 𝐶 = 𝐵𝐶 < 𝐵))
2413, 23anim12d 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → ((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2524ex 450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → ((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
26 df-or 385 . . . . . 6 ((𝐶 = 𝐴 ∨ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
27 3orass 1039 . . . . . 6 ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
28 pm5.6 950 . . . . . . 7 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))))
29 orcom 402 . . . . . . . 8 ((𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3029imbi2i 326 . . . . . . 7 ((¬ 𝐶 = 𝐴 → (𝐶 = 𝐵 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
3128, 30bitri 264 . . . . . 6 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
3226, 27, 313bitr4ri 293 . . . . 5 (((¬ 𝐶 = 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)) ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
3325, 32syl6ib 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)))
343, 7, 333jcad 1241 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
35 simp1 1059 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3635a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*))
37 xrleid 11927 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
3837ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
39 breq2 4617 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (𝐴𝐶𝐴𝐴))
4038, 39syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐴𝐶))
41 xrltle 11926 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4342adantllr 754 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐶𝐴𝐶))
4443adantrd 484 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐶))
45 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
46 breq2 4617 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐵 → (𝐴𝐶𝐴𝐵))
4745, 46syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐵𝐴𝐶))
4840, 44, 473jaod 1389 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴𝐶))
4948exp31 629 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐴𝐶))))
50493impd 1278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐴𝐶))
51 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (𝐶𝐵𝐴𝐵))
5245, 51syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐶𝐵))
53 xrltle 11926 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵𝐶𝐵))
5453ancoms 469 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵𝐶𝐵))
5554adantld 483 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
5655adantll 749 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
5756adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐶𝐵))
58 xrleid 11927 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
5958ad3antlr 766 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
60 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐵 → (𝐶𝐵𝐵𝐵))
6159, 60syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 = 𝐵𝐶𝐵))
6252, 57, 613jaod 1389 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶𝐵))
6362exp31 629 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐴𝐵 → ((𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵) → 𝐶𝐵))))
64633impd 1278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → 𝐶𝐵))
6536, 50, 643jcad 1241 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
6634, 65impbid 202 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
671, 66bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐵 ∧ (𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  [,]cicc 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-icc 12124
This theorem is referenced by:  ivthALT  31969
  Copyright terms: Public domain W3C validator