MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc4 12198
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elicc4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elicc4
StepHypRef Expression
1 elicc1 12177 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
2 3anass 1040 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
31, 2syl6bb 276 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵))))
43baibd 947 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
543impa 1256 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  *cxr 10033  cle 10035  [,]cicc 12136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-xr 10038  df-icc 12140
This theorem is referenced by:  elicc4abs  14009  xrge0addass  29517  esumle  29943  esumlef  29947  sin2h  33070  cos2h  33071  tan2h  33072  ltnelicc  39165  gtnelicc  39168  eliccxrd  39199  xrgtnelicc  39211  limciccioolb  39289  fourierdlem1  39662
  Copyright terms: Public domain W3C validator