Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccnelico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccnelico 40074
 Description: An element of a closed interval that is not a member of the left closed right open interval, must be the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccnelico.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliccnelico.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliccnelico.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
eliccnelico.nel (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
eliccnelico (𝜑𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem eliccnelico
StepHypRef Expression
1 eliccnelico.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2 eliccxr 40055 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
4 eliccnelico.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 eliccnelico.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6 iccleub 12267 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶𝐵)
75, 4, 1, 6syl3anc 1366 . 2 (𝜑𝐶𝐵)
85adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
94adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11 iccgelb 12268 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐶)
125, 4, 1, 11syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
14 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → ¬ 𝐵𝐶)
15 xrltnle 10143 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶))
163, 4, 15syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶))
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → (𝐶 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶))
1814, 17mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
198, 9, 10, 13, 18elicod 12262 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
20 eliccnelico.nel . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
2120adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
2219, 21condan 852 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
233, 4, 7, 22xrletrid 12024 1 (𝜑𝐶 = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  [,)cico 12215  [,]cicc 12216 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ico 12219  df-icc 12220 This theorem is referenced by:  sge0f1o  40917
 Copyright terms: Public domain W3C validator